Rstykt

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого.
Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п.

Тензор механического напряжения второго ранга. Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу σ=[T(e1)T(e2)T(e3)]=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]{displaystyle scriptstyle sigma ={begin{bmatrix}mathbf {T} ^{(mathbf {e} _{1})}mathbf {T} ^{(mathbf {e} _{2})}mathbf {T} ^{(mathbf {e} _{3})}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}&sigma _{13}\sigma _{21}&sigma _{22}&sigma _{23}\sigma _{31}&sigma _{32}&sigma _{33}end{bmatrix}}}, столбцами которой являются силы, действующие на e1{displaystyle mathbf {e} _{1}}, e2{displaystyle mathbf {e} _{2}} и e3{displaystyle mathbf {e} _{3}} грани куба.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу d×d×⋯×d{displaystyle dtimes dtimes cdots times d}, заполненную числами — компонентами тензора (где d{displaystyle d} — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Такие таблицы, в случае двумерного d×d{displaystyle dtimes d}массива (тензор ранга 2), на письме отображают матричной записью:

[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]{displaystyle {begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}&sigma _{13}\sigma _{21}&sigma _{22}&sigma _{23}\sigma _{31}&sigma _{32}&sigma _{33}end{bmatrix}}}

Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто направленный отрезок — от этого не изменяется.

Координаты тензора обычно обозначают некоторой буквой с совокупностью верхних (контрвариантных) и нижних (ковариантных) индексов: Xj1j2…jsi1i2…ir{displaystyle X_{j_{1}j_{2}dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}dots i_{r}}}.
При смене базиса ковариантные компоненты меняются так же, как и базис (с помощью того же преобразования), а контравариантные — обратно изменению базиса (обратным преобразованием).

Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.

Пример |

Рис. А. Модель ткани под сложной внешней нагрузкой (чёрные стрелки), в теле которой было совершено два разреза c{displaystyle color {red}c} и c{displaystyle color {blue}c} (пунктирные линии), нормали к плоскости разрезов c→{displaystyle color {red}{vec {c}}}, c→{displaystyle color {blue}{vec {c}}}и реакция ткани t→{displaystyle color {RedViolet}{vec {t}}}(фиолетовые стрелки) на осуществление данных разрезов в виде дальнейшего разрастания разрыва.

Рис.Б. Различный отклик ткани на разнонаправленные разрезы c→{displaystyle color {red}{vec {c}}}, c→{displaystyle color {black}{vec {c}}} совершённые в одной и той же точке.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно — симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора T{displaystyle mathbf {T} }отрезка ткани под внешней нагрузкой (см. рис. А). Нагрузкой для куска ткани может служить растяжение её руками в разные стороны, или натягивание ткани на какую-то сложную форму.

Интуитивно понятно, что в разных точках ткани напряжение будет разным, например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоёв или разного плетения. Для описания состояния напряжения в различных точках ткани и используются тензоры. Другими словами, каждой точке ткани соответствует свой математический объект — тензор T{displaystyle mathbf {T} }. Это похоже на то, как любой точке пространства может соответствовать своя температура или давление воздуха.

Чтобы понять как тензор T{displaystyle mathbf {T} } показывает состояние напряжение в какой-нибудь точке ткани, можно сделать маленький разрез в данной точке и понаблюдать в каком направлении будут расходится данные разрезы (направление роста разрыва в ткани обозначено фиолетовыми векторами t→{displaystyle color {RedViolet}{vec {t}}}). Так на рис. А мы сделали два разреза в разных точках ткани: направление одного разреза c{displaystyle color {red}c} показано красной пунктирной линией, направление другого c{displaystyle color {blue}c} — синей пунктирной линией. Чтобы математически описать направление данных разрезов используется вектор нормали (вектор перпендикулярный плоскости разреза). Так у разреза c{displaystyle color {red}c} вектор нормали c→{displaystyle color {red}{vec {c}}} красный и направлен перпендикулярно плоскости разреза, у разреза c{displaystyle color {blue}c}ситуация похожая.

Как видно разрезы были сделаны в одном направлении, но ткань отозвалась тем, что разрез начал расти в совершенно другом направлении. Для предсказания того, куда будет развиваться разрез как раз и используется тензор напряжений. Математически данное предсказание выглядело бы так:

1. Определить "тензорную функцию" f(x,y)=Tx,y{displaystyle f(x,y)=mathbf {T_{x,y}} }, аргументами которой являются координаты точек внутри тела, а значением является тензор, описывающий состояние напряжение в заданной точке тела.


2. Выбрать точку в теле, например, (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}и из f(x,y){displaystyle f(x,y)}получить тензор, который описывает состояние напряжения в точке Tx0,y0{displaystyle mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} }
   


3. Определить направление плоскости c→{displaystyle color {red}{vec {c}}}, в которой будет проводится разрез тела.


4. Умножить направление разреза c→{displaystyle color {red}{vec {c}}} в точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}на тензор напряжения в данной точке Tx0,y0{displaystyle mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} } , что в математической записи выглядит как Tx0,y0c→=t→{displaystyle {mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} color {red}{vec {c}}}=color {RedViolet}{vec {t}}}
   


5. Вектор t→{displaystyle color {RedViolet}{vec {t}}}и покажет, куда будет распространятся разрез c→{displaystyle color {red}{vec {c}}} в точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}.

Разрезы c→{displaystyle color {red}{vec {c}}} и c→{displaystyle color {blue}{vec {c}}}— это вектора, а напряжение в точке T{displaystyle mathbf {T} }— это тензор. Чтобы представить эти объекты в матричном виде:

c→=[x1x2],c→=[x1x2],T=[σ11σ12σ21σ22]{displaystyle {color {red}{vec {c}}={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}end{bmatrix}}},{color {blue}{vec {c}}={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}end{bmatrix}}},{displaystyle mathbf {T} ={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}\sigma _{21}&sigma _{22}end{bmatrix}}}}

сначала нужно выбрать базис, но, очевидно, что с физической точки зрения, которая полностью описывается тензором T{displaystyle mathbf {T} }, поведение ткани никак не зависит от выбора системы координат. Какой бы базис ни выбрал наблюдатель, он никак не может повлиять на то, как ткань отзывается на разрезы в её теле.

Так же надо понимать, что разнонаправленные разрезы, совершённые в одной и той же точке тела, повлекут за собой различный отклик ткани. Данное явление показано на рис.Б, где разрастание разрыва ткани происходит по разным направлениям t→{displaystyle color {RedViolet}{vec {t}}} и с разной интенсивностью ||t→||{displaystyle ||{color {RedViolet}{vec {t}}}||}, в ответ на различные направления разрезов c→{displaystyle color {red}{vec {c}}} и c→{displaystyle {vec {c}}}, совершённых в одной и той же точке.

Как раз для описания такого сложного поведения и используются тензоры, которые в данном случае служат векторными функциями fx0,y0(c→)=Tx0,y0c→=t→{displaystyle f_{x_{0},y_{0}}({vec {c}})=mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {vec {c}}={vec {t}}}, определёнными в каждой точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}куска ткани, которые ставят все возможные направления c→{displaystyle {vec {c}}} разрезов, в соответствие со всеми возможными направлениями t→{displaystyle {vec {t}}}дальнейшего разрыва ткани.

Определения |

О классическом определении |

Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом, то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, n{displaystyle n}-мерной таблицей, где n{displaystyle n} — валентность тензора (см. выше).

Так, вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом, либо в виде строки x=[x1x2…xm]{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&dots &x_{m}end{bmatrix}},}, либо в виде столбца

x=[x1x2⋮xm]{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}},}

а такие объекты, как линейный оператор и квадратичная форма, — двумерной матрицей

T=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]{displaystyle mathbf {T} ={begin{bmatrix}sigma _{11}&sigma _{12}&sigma _{13}\sigma _{21}&sigma _{22}&sigma _{23}\sigma _{31}&sigma _{32}&sigma _{33}end{bmatrix}}}

Скаляр же (тензор нулевого ранга) задаётся одним числом x{displaystyle mathbf {x} }, которое можно рассматривать как сокращённую запись нульмерного массива с единственным элементом, то есть x=[x1]{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}end{bmatrix}}}. Такие нульмерные матрицы удобно рассматривать в качестве частных случаев тензоров, так как все тензорные определения и теоремы для них в силе, и векторы со скалярами можно при общем рассмотрении не упоминать отдельно.

Но следует понимать, что не всякая матрица есть тензор. Тензор лишь иногда записывают в матричной форме (для этого в пространстве задачи обязательно нужно выбрать базис), но иногда матричная форма неудобна и избыточна. Таким образом, матрица является лишь одним из способов записи тензора, а не самим математическим объектом — тензором.

Также следует понимать, что не всякий линейный оператор T{displaystyle mathbf {T} } является тензором. Тензор отличается от других математических объектов, которые также могут быть записаны в матричной форме, законом преобразования координат.

Таким образом тензор не просто массив чисел. Можно дать такое псевдоопределение тензора:

Современное определение |

Тензор ранга (n,m){displaystyle (n,m)} над d{displaystyle d}-мерным векторным пространством V{displaystyle V} — это элемент тензорного произведения n{displaystyle n} пространств V{displaystyle V} и m{displaystyle m} сопряжённых пространств V∗{displaystyle V^{*}} (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на V{displaystyle V})

τ∈Tmn(V)=V⊗…⊗V⏟⊗V∗⊗…⊗V∗⏟nm{displaystyle {begin{matrix}tau in T_{m}^{n}(V)&=&underbrace {Votimes ldots otimes V} &otimes &underbrace {V^{*}otimes ldots otimes V^{*}} \&&n&&mend{matrix}}}

Сумма чисел n+m{displaystyle n+m} называется валентностью тензора (её также часто называют рангом).
Тензор ранга (n,m){displaystyle (n,m)} также называется n{displaystyle n} раз контравариантным и m{displaystyle m} раз ковариантным, иногда говорят тензор n-ранга, имея в виду ранг (0, n) или (n, 0), например, εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}} — тензор 3-го ранга (3 индекса).

Тензор как полилинейная функция |

Точно так же, как тензор ранга (0,1){displaystyle (0,1)} можно представлять как линейный функционал на пространстве V{displaystyle V}, тензор τ{displaystyle tau } ранга (0,n){displaystyle (0,n)} удобно представлять себе как функцию τ(v1,v2,…,vn){displaystyle tau (v_{1},v_{2},ldots ,v_{n})} от n{displaystyle n} векторных аргументов vi∈V{displaystyle v_{i}in V}, которая линейна по каждому аргументу vi{displaystyle v_{i}} (такие функции называются полилинейными), то есть для любой константы c{displaystyle c} из поля F{displaystyle F} (над которым определено векторное пространство).

τ(v1,…,cvA,…,vn)=cτ(v1,…,vA,…,vn){displaystyle tau (v_{1},ldots ,cv_{A},ldots ,v_{n})=ctau (v_{1},ldots ,v_{A},ldots ,v_{n})}

τ(v1,…,vA+vA′,…,vn)=τ(v1,…,vA,…,vn)+τ(v1,…,vA′,…,vn).{displaystyle tau (v_{1},ldots ,v_{A}+v_{A}',ldots ,v_{n})=tau (v_{1},ldots ,v_{A},ldots ,v_{n})+tau (v_{1},ldots ,v_{A}',ldots ,v_{n}).}

В том же ключе, тензор τ{displaystyle tau } произвольного ранга (n,m){displaystyle (n,m)} представляется полилинейным функционалом от m{displaystyle m} векторов и n{displaystyle n} ковекторов:

τ(v1,v2,…,vm,ω1,ω2,…,ωn){displaystyle tau (v_{1},v_{2},ldots ,v_{m},omega ^{1},omega ^{2},ldots ,omega ^{n})}

τ:Vm×(V∗)n→F{displaystyle tau colon V^{m}times (V^{*})^{n}to F}

Компоненты тензора |

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор как геометрическая сущность от них не зависит.

Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что:

• различные скалярные инварианты


• симметричность или антисимметричность индексов


• соотношения между тензорами


• и другое.

Например, скалярное произведение и длина векторов не меняются при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным.

Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат.
Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы).
Компоненты тензора, таким образом, преобразуются по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

τjki{displaystyle tau _{jk}^{i}}

преобразуются так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

 aibjck{displaystyle a^{i}b_{j}c_{k}}

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

Представление тензора в компонентах базиса |

Выберем в пространстве V{displaystyle V} базис {e1,e2,…,ed}{displaystyle {mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},ldots ,mathbf {e} _{d}}}, и соответственно {f1,f2,…,fd}{displaystyle {mathbf {f} ^{1},mathbf {f} ^{2},ldots ,mathbf {f} ^{d}}} — дуальный базис в сопряжённом пространстве V∗{displaystyle V^{*}} (то есть (ea⋅fb)=δab{displaystyle (mathbf {e} _{a}cdot mathbf {f} ^{b})=delta _{a}^{b}}, где δab{displaystyle delta _{a}^{b}} — символ Кронекера).

Тогда в пространстве тензоров Tmn(V)=(⨂i=1nV)⊗(⨂i=1mV∗){displaystyle mathrm {T} _{m}^{n}(V)=left(bigotimes _{i=1}^{n}Vright)otimes left(bigotimes _{i=1}^{m}V^{*}right)} естественным образом возникает базис

{ei1⊗ei2⊗…⊗ein⊗fj1⊗fj2⊗…⊗fjm},1⩽ia,jb⩽d{displaystyle {mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{n}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{m}}},quad 1leqslant i_{a},j_{b}leqslant d}.

Произвольный тензор τ∈Tmn(V){displaystyle tau in mathrm {T} _{m}^{n}(V)} можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

τ=∑j1,j2,…,jm∑i1,i2,…,inτj1,j2,…,jmi1,i2,…,inei1⊗ei2⊗…⊗ein⊗fj1⊗fj2⊗…⊗fjm.{displaystyle tau =sum _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{m}}sum _{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n}}{tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{m}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n}}}mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{n}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{m}}.}

Используя соглашение Эйнштейна, это разложение можно записать как

τ=τj1,j2,…,jmi1,i2,…,inei1⊗ei2⊗…⊗ein⊗fj1⊗fj2⊗…⊗fjm.{displaystyle tau ={tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{m}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n}}}mathbf {e} _{i_{1}},otimes ,mathbf {e} _{i_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {e} _{i_{n}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{1}},otimes ,mathbf {f} ^{j_{2}},otimes ,ldots ,otimes ,mathbf {f} ^{j_{m}}.}

Числа τj1,j2,…,jmi1,i2,…,in{displaystyle tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{m}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n}}} называются компонентами тензора τ{displaystyle tau }.
Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние — контравариантными.
Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора h{displaystyle h} будет таким:

h=∑j,khjkfj⊗fk{displaystyle h=sum _{j,k}h_{jk}mathbf {f} ^{j}otimes mathbf {f} ^{k}}

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе Tnm(V)=(⨂i=1nV∗)⊗(⨂i=1mV){displaystyle mathrm {T} _{n}^{m}(V)=left(bigotimes _{i=1}^{n}V^{*}right)otimes left(bigotimes _{i=1}^{m}Vright)}:

τj1,j2,…,jni1,i2,…,im=τ(fi1,fi2,…,fim,ej1,ej2,…,ejn),1⩽ia,jb⩽d.{displaystyle {tau _{j_{1},j_{2},ldots ,j_{n}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{m}}}=tau (mathbf {f} ^{i_{1}},mathbf {f} ^{i_{2}},ldots ,mathbf {f} ^{i_{m}},mathbf {e} _{j_{1}},mathbf {e} _{j_{2}},ldots ,mathbf {e} _{j_{n}}),quad 1leqslant i_{a},j_{b}leqslant d.}

Примеры |

• Тензор ранга (0,0){displaystyle (0,0)} есть скаляр;


• Тензор ранга (1,0){displaystyle (1,0)} есть вектор (точнее — контравариантный вектор) — это элемент пространства V∗∗{displaystyle V^{**}}, которое изоморфно пространству V{displaystyle V};


• Тензор ранга (0,1){displaystyle (0,1)} есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства V∗{displaystyle V^{*}};


• Тензор ранга (0,2){displaystyle (0,2)} есть билинейная форма, например, метрический тензор gij{displaystyle g_{ij}} на касательном пространстве.


• Тензор ранга (1,1){displaystyle (1,1)} есть линейный оператор A:V→V{displaystyle A:Vto V} или A:V∗→V∗{displaystyle A:V^{*}to V^{*}}
  
  • В частности, единичный оператор, который может быть представлен единичной матрицей δji{displaystyle delta _{j}^{i}}, — тензор ранга (1,1){displaystyle (1,1)}.
  
  


• 
  Форма объёма на n{displaystyle n}-мерном линейном пространстве есть пример антисимметрического тензора ранга (0,n){displaystyle (0,n)} (или n{displaystyle n} раз ковариантного)


• 
  Риманова кривизна в естественном виде R jkli{displaystyle R_{ jkl}^{i}} — пример тензора ранга (1,3){displaystyle (1,3)}, её свёртки — тензор Риччи Rij{displaystyle R_{ij}} и скалярная кривизна R=Rijgij{displaystyle R=R_{ij}g^{ij}} — примеры тензоров соответственно ранга (0,2){displaystyle (0,2)} и (0,0){displaystyle (0,0)}, то есть последний — скаляр.


• 
  Символ Леви-Чивиты — тензор 3-го ранга εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}.

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат.
Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

• Простым, хотя в целом несколько искусственным, примером такой таблички, не представляющей тензор, может быть табличка, компоненты которой представляют набор произвольных чисел, никак не меняющихся при произвольных преобразованиях координат. Такой объект не представляет тензора, или, во всяком случае, не представляет тензора на линейном пространстве, в котором произошло преобразование координат. Так, набор из трёх чисел не представляет трёхмерного вектора, если эти числа не преобразуются при замене координат совершенно определённым образом.


• Также в общем случае подмножество компонент тензора высшего ранга не является тензором низшего ранга.


• 
  Не представляет тензора также объект, все компоненты которого нули хотя бы в одной невырожденной системе координат (в полном базисе), тогда как в другой хотя бы одна компонента ненулевая. Этот факт — следствие (поли-)линейности тензоров.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся:

• Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат (матрицы Якоби), являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.


• 
  Символы Кристоффеля Γ jki{displaystyle Gamma _{ jk}^{i}} также не представляют тензора, хотя бы потому, что они могут быть обращены в ноль выбором координат вблизи произвольной точки, так же, как выбором (криволинейных) координат могут быть сделаны ненулевыми. Однако свёртка компонент связности с вектором даёт настоящий вектор, а их разность — настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров — расслоения струй.

Тензорные операции |

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

• Умножение на скаляр — умножение каждого компонента тензора на скаляр. Аналогично умножению вектора или скалярной величины (и то, и другое являются частными случаями тензора);


• Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
  
  • Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.
  
  


• 
  Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга (m,n){displaystyle (m,n)} на тензор ранга (m′,n′){displaystyle (m',n')} является тензор суммарного ранга (m+m′,n+n′){displaystyle (m+m',n+n')}, то есть если σ∈Tnm{displaystyle sigma in T_{n}^{m}} и τ∈Tn′m′{displaystyle tau in T_{n'}^{m'}} то их произведение

σ⊗τ∈Tn+n′m+m′=Tnm⊗Tn′m′.{displaystyle sigma otimes tau in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}otimes T_{n'}^{m'}.}

Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:

P  klij =AijBkl{displaystyle P_{ kl}^{ij} =A^{ij}B_{kl}}

• 
  Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:
  

  B kli =∑jA  jklji=A  jklji{displaystyle B_{ kl}^{i} =sum _{j}A_{ jkl}^{ji}=A_{ jkl}^{ji}}

  
  
  
  
  • (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
  
  
  • 
    След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.
  
  
  
  


• 
  Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:
  

  
  

  
  Cjki =∑mBmiAjkm=BmiAjkm{displaystyle C_{jk}^{i} =sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=B_{m}^{i}A_{jk}^{m}} (последнее — в записи Эйнштейна).

  
  

   — операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.

  
  

  
  
  • Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:
  
  

  
  ui =∑jAjivj=Ajivj{displaystyle u^{i} =sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=A_{j}^{i}v^{j}} (последнее — в записи Эйнштейна).

  
  
  • Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:
  
  

  
  Cji =∑kBkiAjk=BkiAjk{displaystyle C_{j}^{i} =sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=B_{k}^{i}A_{j}^{k}} (последнее — в записи Эйнштейна).

  
  


• 
  Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора Tij{displaystyle T_{ij}} — это симметричный тензор T(ij)=12(Tij+Tji){displaystyle scriptstyle T_{(ij)}={1 over 2}left(T_{ij}+T_{ji}right)}, а антисимметризация — антисимметричный тензор T[ij]=12(Tij−Tji){displaystyle scriptstyle T_{[ij]}={1 over 2}left(T_{ij}-T_{ji}right)}. В общем случае симметризация по n{displaystyle n} индексам имеет вид

T(i1…in)=1n!∑σTσ(i1)…σ(in),{displaystyle T_{(i_{1}ldots i_{n})}={1 over n!}sum _{sigma }T_{sigma (i_{1})ldots sigma (i_{n})},}

а антисимметризация:

T[i1…in]=1n!∑σsign(σ)Tσ(i1)…σ(in){displaystyle T_{[i_{1}ldots i_{n}]}={1 over n!}sum _{sigma }mathrm {sign} ,(sigma )T_{sigma (i_{1})ldots sigma (i_{n})}}

Здесь σ{displaystyle sigma } — всевозможные перестановки индексов i1,…,in,{displaystyle i_{1},ldots ,i_{n},} а sign(σ){displaystyle mathrm {sign} ,(sigma )} — чётность перестановки σ.{displaystyle sigma .} Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

• Если Ti1…in{displaystyle T_{i_{1}ldots i_{n}}} симметричен по i1…in,{displaystyle i_{1}ldots i_{n},} то симметризация по этим индексам совпадает с T,{displaystyle T,} а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.


• Если Tij∈V⊗V,{displaystyle T_{ij}in Votimes V,} то T(ij)∈V∨V,{displaystyle T_{(ij)}in Vvee V,} T[ij]∈V∧V.{displaystyle T_{[ij]}in Vwedge V.} Здесь ∨{displaystyle vee } — симметричное, а ∧{displaystyle wedge } — внешнее произведение векторных пространств.

Симметрии |

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

T(ej1,ej2_,…,ejn,ei1,ei2,…,eim)=T(ej2,ej1_,…,ejn,ei1,ei2,…,eim);{displaystyle T({underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},ldots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},ldots ,e_{i_{m}})=T({underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},ldots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},ldots ,e_{i_{m}});}

T(ej1,ej2,…,ejn,ei1,ei2_,…,eim)=T(ej1,ej2,…,ejn,ei2,ei1_,…,eim){displaystyle T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},ldots ,e^{j_{n}},{underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},ldots ,e_{i_{m}})=T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},ldots ,e^{j_{n}},{underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},ldots ,e_{i_{m}})}

или в компонентах

Tj1,j2_,…,jni1,i2,…,im=Tj2,j1_,…,jni1,i2,…,im,∀j1,j2=1,2,…,(dim⁡(V)=dim⁡(V∗));{displaystyle {T_{{underline {j_{1},j_{2}}},ldots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{m}}={T_{{underline {j_{2},j_{1}}},ldots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{m}},quad forall j_{1},j_{2}=1,2,ldots ,(dim(V)=dim(V^{*}));}

Tj1,j2,…,jni1,i2_,…,im=Tj1,j2,…,jni2,i1_,…,im,∀i1,i2=1,2,…,(dim⁡(V)=dim⁡(V∗)).{displaystyle {T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{n}}}^{{underline {i_{1},i_{2}}},ldots ,i_{m}}={T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{n}}}^{{underline {i_{2},i_{1}}},ldots ,i_{m}},quad forall i_{1},i_{2}=1,2,ldots ,(dim(V)=dim(V^{*})).}

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

T(ej1,ej2_,…,ejn,ei1,ei2,…,eim)=−T(ej2,ej1_,…,ejn,ei1,ei2,…,eim);{displaystyle T({underline {e^{j_{1}},e^{j_{2}}}},ldots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},ldots ,e_{i_{m}})=-T({underline {e^{j_{2}},e^{j_{1}}}},ldots ,e^{j_{n}},e_{i_{1}},e_{i_{2}},ldots ,e_{i_{m}});}

T(ej1,ej2,…,ejn,ei1,ei2_,…,eim)=−T(ej1,ej2,…,ejn,ei2,ei1_,…,eim){displaystyle T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},ldots ,e^{j_{n}},{underline {e_{i_{1}},e_{i_{2}}}},ldots ,e_{i_{m}})=-T(e^{j_{1}},e^{j_{2}},ldots ,e^{j_{n}},{underline {e_{i_{2}},e_{i_{1}}}},ldots ,e_{i_{m}})}

или в компонентах

Tj1,j2_,…,jni1,i2,…,im=−Tj2,j1_,…,jni1,i2,…,im,∀j1,j2=1,2,…,(dim⁡(V)=dim⁡(V∗));{displaystyle T_{{underline {j_{1},j_{2}}},ldots ,j_{n}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{m}}=-T_{{underline {j_{2},j_{1}}},ldots ,j_{n}}^{i_{1},i_{2},ldots ,i_{m}},quad forall j_{1},j_{2}=1,2,ldots ,(dim(V)=dim(V^{*}));}

Tj1,j2,…,jni1,i2_,…,im=−Tj1,j2,…,jni2,i1_,…,im,∀i1,i2=1,2,…,(dim⁡(V)=dim⁡(V∗)).{displaystyle T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{n}}^{{underline {i_{1},i_{2}}},ldots ,i_{m}}=-T_{j_{1},j_{2},ldots ,j_{n}}^{{underline {i_{2},i_{1}}},ldots ,i_{m}},quad forall i_{1},i_{2}=1,2,ldots ,(dim(V)=dim(V^{*})).}

Симметрия или антисимметрия не обязательно должна охватывать только соседние индексы, она может включать в себя любые индексы, учитывая, правда, следующее: симметрия или антисимметрия может относиться только к индексам одного сорта: ко- или контравариантным.
Симметрии же, смешивающие ко- и контравариантные индексы тензоров, как правило, не имеют особого смысла, так как, даже если они наблюдаются в компонентах, то разрушаются при переходе к другому базису отнесения (то есть неинвариантны).

Впрочем, в присутствии метрического тензора, наличие операций поднятия или опускания индекса устраняет это неудобство, и ограничение этим по сути снимается, когда тензор представлен подходящим образом (так, например, тензор кривизны Римана Rmjkl=gimRjkℓi{displaystyle R_{mjkl}=g_{im}R_{jkell }^{i}} антисимметричен по первым двум и последним двум индексам).

Эти определения естественным образом обобщаются на случай более чем двух индексов.
При этом при любой перестановке индексов, по которым тензор является симметричным, его действие не изменяется, а при антисимметрии по индексам знак действия тензора изменяется на противоположный для нечётных перестановок (получаемых из начального расположения индексов нечётным числом транспозиций — перестановок двух индексов) и сохраняется для чётных.

Существуют и более сложные симметрии, например первое тождество Бьянки для тензора кривизны.

Тензоры в физике |

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущая жидкость или газ, или как деформированное твёрдое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами.
Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Примерами тензоров в физике являются:

• 
  метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.


• выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории.


• 
  тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряжённости электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.


• 
  напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.


• едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д.


• в механике абсолютно твёрдого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твёрдое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.


• аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.


• часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).


• термин 4-тензор — применяется для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временно́е» и три «пространственных».

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

См. также |

• Тензорное поле


• Метрический тензор


• Тензор кривизны


• Тензорные вычисления (программное обеспечение)^[en]

Литература |

• 
  Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969;


• 
  Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. ISBN 5-06-004155-7.


• 
  Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.


• 
  Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965;


• 
  Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963;


• 
  Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960;


• 
  Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986;


• 
  Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967;


• 
  Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.