Rstykt

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция U{displaystyle U}, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве D{displaystyle D} (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

ΔU=0, {displaystyle Delta U=0, }

где Δ=∑i=1n∂2∂xi2{displaystyle Delta =sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{i}^{2}}}} — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x_i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства |

Принцип максимума |

Функция U, гармоническая в области D{displaystyle D}, достигает своего максимума и минимума только на границе ∂D{displaystyle partial D}. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в D{displaystyle D} функции.
Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать ∀m∈DinfQ∈DU(Q)<U(m)<supQ∈DU(Q){displaystyle forall min Dinf _{Qin D}U(Q)<U(m)<sup _{Qin D}U(Q)}

Теорема Лиувилля |

Гармоническая функция, определённая на Rn{displaystyle {mathbb {R}}^{n}} и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего |

Если функция u{displaystyle u} гармонична в некотором шаре B(x0){displaystyle B(x_{0})} с центром в точке x0{displaystyle x_{0}}, то её значение в точке x0{displaystyle x_{0}} равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

u(x0)=1μ(∂B)∫∂BudS=1μ(B)∫BudV{displaystyle u(x_{0})={frac {1}{mu (partial B)}}int limits _{partial B}udS={frac {1}{mu (B)}}int limits _{B}udV}

где μ(B){displaystyle mu (B)} — объём шара B(x0){displaystyle B(x_{0})} и μ(∂B){displaystyle mu (partial B)} — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость |

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака |

Если функция U(M)=U(x1,...xk){displaystyle U(M)=U(x_{1},...x_{k})}, гармоническая в к-мерном шаре Qr{displaystyle Q_{r}} радиуса R{displaystyle R} с центром в некоторой точке M0{displaystyle M_{0}}, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках M{displaystyle M} внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: Rk−2R−r(R+r)k−1U(M0)≤U(M)≤Rk−2R+r(R−r)k−1U(M0){displaystyle {{R^{k-2}}{frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})}leq {U(M)}leq {R^{k-2}{frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}}, где r=ρ(M0,M)<R{displaystyle r=rho (M_{0},M)<R}^[1].

Теорема Гарнака |

Пусть vn(z){displaystyle v_{n}(z)} — положительные гармонические функции в некоторой области D{displaystyle D}. Если ряд ∑1∞vn(z){displaystyle sum _{1}^{infty }v_{n}(z)} сходится хотя бы в одной точке области D{displaystyle D}, то он равномерно сходится внутри D{displaystyle D}.

Гармонические функции на комплексной плоскости |

На комплексной плоскости гармонические функции h:C→R{displaystyle h:mathbb {C} to mathbb {R} } тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области D{displaystyle D} в C{displaystyle mathbb {C} } если f{displaystyle f} это голоморфная функция на D{displaystyle D}, то h=Re⁡(f){displaystyle h=operatorname {Re} (f)} является гармонической функцией над D{displaystyle D}.

Выполняется также и обратное утверждение. Если h{displaystyle h} является гармонической функцией над односвязной областью D{displaystyle D}, то h=Re⁡(f){displaystyle h=operatorname {Re} (f)} для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над D{displaystyle D} функции f{displaystyle f}.

См. также |

• Оператор Лапласа


• Задача Дирихле


• Голоморфная функция


• Субгармоническая функция


• Плюригармоническая функция

Примечания |

Литература |

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.


• Евграфов М. А. Аналитические функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 448 с.


• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 749 с.


• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.


• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 480 с.


• Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 463 с.


• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — 388 с.


• Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.


• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.