Rstykt

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи |

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области Ω{displaystyle Omega } найти функцию u∈C2(Ω)∩C1(Ω¯){displaystyle uin C^{2}(Omega )cap C^{1}({overline {Omega }})}, удовлетворяющую следующим условиям:

Δu=0{displaystyle Delta u=0} в области Ω{displaystyle Omega }

∂u∂n|∂Ω=u1(x), u1∈C(∂Ω),{displaystyle {frac {partial u}{partial mathbf {n} }}{Bigg |}_{partial Omega }=u_{1}(mathbf {x} ), u_{1}in C(partial Omega ),}

где Δ{displaystyle Delta } — оператор Лапласа, n{displaystyle mathbf {n} } — внешняя единичная нормаль к границе области Ω{displaystyle Omega }.

На неограниченных областях Ω{displaystyle Omega } (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции u{displaystyle u}. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности n>2{displaystyle n>2} единственно, если на бесконечности функция u→0{displaystyle urightarrow 0}. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей, называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведением производной на границе.

Условие разрешимости |

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

∫∂Ωu1(x)dS=0,(∗){displaystyle int limits _{partial Omega }u_{1}(mathbf {x} )dS=0,qquad qquad (*)}

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.^[1]

Физическая интерпретация |

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по разному, например:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде −λ∂u∂n|∂Ω2=u1(x){displaystyle {Bigl .}-lambda {frac {partial u}{partial mathbf {n} }}{Bigr |}_{partial Omega _{2}}=u_{1}(mathbf {x} )}, что интерпретируется как тепловой поток на границе области.


• Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнение относительно вектора E{displaystyle mathbf {E} } интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора H{displaystyle mathbf {H} } интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: −μ−1∂E∂n|∂Ω2=u1(x){displaystyle {Bigl .}-mu ^{-1}{frac {partial E}{partial mathbf {n} }}{Bigr |}_{partial Omega _{2}}=u_{1}(mathbf {x} )}, в векторном случае: (μ−1∇×E)×n|∂Ω2=u1(x){displaystyle {Bigl .}left(mu ^{-1}nabla times mathbf {E} right)times mathbf {n} {Bigr |}_{partial Omega _{2}}=mathbf {u_{1}} (mathbf {x} )}^[2].

Аналитическое решение |

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

u(x)=∫∂Ωu1(x)G(x,y)dx{displaystyle u(mathbf {x} )=int _{partial Omega }{u_{1}(mathbf {x} )G(mathbf {x} ,mathbf {y} )dx}},

где G(x,y){displaystyle G(mathbf {x} ,mathbf {y} )} — функция Грина для оператора Лапласа в области Ω{displaystyle Omega }.

Вторые краевые условия в численных методах |

При решении задачи различными численными методами вторые краевые условия учитываются по разному:

• В методе конечных разностей производная ∂u∂n{displaystyle {frac {partial u}{partial mathbf {n} }}} аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе


• В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: bi=∫Ωf(x)φi(x)dx+∫∂Ω2u1(x)φi(x)dx{displaystyle mathbf {b} _{i}=int _{Omega }{f(mathbf {x} )varphi _{i}(mathbf {x} )dx}+int _{partial Omega _{2}}{u_{1}(mathbf {x} )varphi _{i}(mathbf {x} )dx}}, где f(x){displaystyle f(mathbf {x} )} — правая часть уравнения, ∂Ω2{displaystyle partial Omega _{2}} — часть границы, на которых заданы вторые краевые, φi(x){displaystyle varphi _{i}(mathbf {x} )} i{displaystyle i}-я базисная функция^[2].

См. также |

• Нейман, Карл Готфрид


• Начальные и граничные условия


• Задача Дирихле


• Эллиптическое уравнение


• Краевая задача


• Теория потенциала

Литература |

• В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.

Примечания |