Rstykt

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию F(t){displaystyle F(t)}, состоящую из частот от 0 до f1{displaystyle f_{1}}, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2f1){displaystyle 1/(2f_{1})} секунд»^[1].

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот 0<ω<ω1{displaystyle 0<omega <omega _{1}}, где ω=2πf{displaystyle omega =2pi f}^[2].

Пояснение |

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой fc{displaystyle f_{c}}».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия^[3][4]:

• любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой f>2fc{displaystyle f>2f_{c}}, где fc{displaystyle f_{c}} — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;


• если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует^[5].

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал x(t){displaystyle x(t)} можно представить в виде интерполяционного ряда:

x(t)=∑k=−∞∞x(kΔ)sinc⁡[πΔ(t−kΔ)],{displaystyle x(t)=sum _{k=-infty }^{infty }x(kDelta )operatorname {sinc} left[{frac {pi }{Delta }}(t-kDelta )right],}

где sinc⁡(x)=sin⁡(x)/x{displaystyle operatorname {sinc} (x)=sin(x)/x} — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям 0<Δ⩽12fc{displaystyle 0<Delta leqslant {frac {1}{2f_{c}}}}. Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала x(kΔ){displaystyle x(kDelta )}.

История |

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Certain topics in telegraph transmission theory» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер^[en] получил тот же результат^[6]. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом^[7][8]: «Любую функцию f(t){displaystyle f(t)}, состоящую из частот от 0 до fc{displaystyle f_{c}}, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2fc){displaystyle 1/(2f_{c})} секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон^[9], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов^[10]. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем^[11].

Вариации и обобщения |

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов^[12][13]. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции x(t){displaystyle x(t)} с финитным спектром (supp⁡x^=[−fc,fc]){displaystyle (operatorname {supp} {hat {x}}=[-f_{c},f_{c}])} на основе преобразований Фурье атомарных функций^[14]:

x(t)=∑k=−∞∞x(kΔ)∏n=1Msinc⁡[πan−1Δ(t−kΔ)],{displaystyle x(t)=sum _{k=-infty }^{infty }x(kDelta )prod _{n=1}^{M}operatorname {sinc} left[{frac {pi }{a^{n-1}Delta }}(t-kDelta )right],}

где параметры a{displaystyle a} и M{displaystyle M} удовлетворяют неравенству aM−1(a−2)+1>0{displaystyle a^{M-1}(a-2)+1>0}, а интервал дискретизации:

0<Δ⩽12fc[1+aM−1+1aM−1(a−1)].{displaystyle 0<Delta leqslant {frac {1}{2f_{c}}}left[1+{frac {a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}}right].}

См. также |

• Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона


• Частота Найквиста


• Основной цифровой канал


• Экстраполятор нулевого порядка


• Экстраполятор первого порядка


• Квантование (обработка сигналов)


• Передискретизация


• Теорема отсчётов в частотной области

Примечания |

Литература |

• 
  H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.


• 
  Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.


• Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. Теория электрической связи. — М.: Издательский центр «Академия», 2010. — 329 с. — ISBN 978-5-7695-6510-6.

Ссылки |

• 
  Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart