Rstykt

Квантовая механика

Δx⋅Δpx⩾ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x}geqslant {frac {hbar }{2}}} Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного полей). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей^{[* 1]} задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики^[1][2]. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма^[3][4].

Краткий обзор |

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.^{[* 2]}

Согласно принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)^{[* 3]}. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определённый импульс и полностью неопределённая пространственная координата — или полностью неопределённый импульс и полностью определённая координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!^{[* 4]}), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определённого значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье^{[* 5]}.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что px=ℏkx,{displaystyle p_{x}=hbar k_{x},} то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни (наблюдая макроскопические объекты или микрочастицы, перемещающиеся в макроскопических областях пространства) мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение ℏ{displaystyle hbar } чрезвычайно мало, и поэтому являющиеся следствием соотношений неопределённости эффекты настолько ничтожны, что не улавливаются измерительными приборами или органами чувств^[5].

Определение |

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения Δx{displaystyle Delta x} координаты и среднеквадратического отклонения Δp{displaystyle Delta p} импульса, мы найдем что:

ΔxΔp⩾ℏ2{displaystyle Delta xDelta pgeqslant {frac {hbar }{2}}},

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x{displaystyle x} может быть измерен с высокой точностью, но тогда p{displaystyle p} будет известен только приблизительно, или наоборот p{displaystyle p} может быть определён точно, в то время как x{displaystyle x} — нет. Во всех же других состояниях и x{displaystyle x}, и p{displaystyle p} могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Когда достигается равенство |

Равенство в соотношении неопределённостей достигается тогда и только тогда, когда форма представления вектора состояния системы в координатном представлении совпадает с формой его представления в импульсном представлении (не меняется при преобразовании Фурье)^[6].

Варианты и примеры |

Обобщённый принцип неопределённости |

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: A:H→H{displaystyle Acolon Hto H} и B:H→H{displaystyle Bcolon Hto H}, и любого элемента x{displaystyle x} из H{displaystyle H} такого, что ABx{displaystyle ABx} и BAx{displaystyle BAx} оба определены (то есть, в частности, Ax{displaystyle Ax} и Bx{displaystyle Bx} также определены), имеем:

⟨x|AB|x⟩⟨x|BA|x⟩=|⟨Bx|Ax⟩|2⩽|⟨Ax|Ax⟩||⟨Bx|Bx⟩|=‖Ax‖2‖Bx‖2{displaystyle langle x|AB|xrangle langle x|BA|xrangle =left|langle Bx|Axrangle right|^{2}leqslant left|langle Ax|Axrangle right|left|langle Bx|Bxrangle right|=|Ax|^{2}|Bx|^{2}}

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

14|⟨x|AB−BA|x⟩|2⩽‖Ax‖2‖Bx‖2.{displaystyle {frac {1}{4}}|langle x|AB-BA|xrangle |^{2}leqslant |Ax|^{2}|Bx|^{2}.}

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор AB−BA{displaystyle AB-BA} называют коммутатором A{displaystyle A} и B{displaystyle B} и обозначают как [A,B]{displaystyle [A,B]}. Он определён для тех x{displaystyle x}, для которых определены оба ABx{displaystyle ABx} и BAx{displaystyle BAx}.

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, A{displaystyle A} и B{displaystyle B} — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если ABψ{displaystyle ABpsi } и BAψ{displaystyle BApsi } определены, тогда:

ΔψAΔψB⩾12|⟨[A,B]⟩ψ|{displaystyle Delta _{psi }A,Delta _{psi }Bgeqslant {frac {1}{2}}left|leftlangle left[A,{B}right]rightrangle _{psi }right|},

где:

⟨X⟩ψ=⟨ψ|X|ψ⟩{displaystyle leftlangle Xrightrangle _{psi }=leftlangle psi |X|psi rightrangle }

— среднее значение оператора величины X{displaystyle X} в состоянии ψ{displaystyle psi } системы, и

ΔψX=⟨X2⟩ψ−⟨X⟩ψ2{displaystyle Delta _{psi }X={sqrt {langle {X}^{2}rangle _{psi }-langle {X}rangle _{psi }^{2}}}}

— оператор стандартного отклонения величины X{displaystyle X} в состоянии ψ{displaystyle psi } системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ{displaystyle psi }. В этом случае ψ{displaystyle psi } представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A{displaystyle A} и B{displaystyle B}.

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости |

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

ΔxiΔpi⩾ℏ2{displaystyle Delta x_{i}Delta p_{i}geqslant {frac {hbar }{2}}}

Из принципа неопределённости между импульсом и координатой следует, что чем меньше исследуемые расстояния, тем большей энергией
должны обладать элементарные частицы. В ультрарелятивистской области (p≫Mc{displaystyle pgg Mc}) энергия E{displaystyle E} пропорциональна импульсу p{displaystyle p}: E=cp{displaystyle E=cp} и соотношение неопределённости для импульса и координаты принимает вид ΔEΔx⩾cℏ2{displaystyle Delta EDelta xgeqslant c{frac {hbar }{2}}}, так что ΔE⩾10−14Δx{displaystyle Delta Egeqslant {frac {10^{-14}}{Delta x}}}, где ΔE{displaystyle Delta E} выражено в ГэВ, а Δx{displaystyle Delta x} в см. Этим соотношением определяется энергия элементарных частиц, необходимая для достижения заданных малых расстояний между ними. Для сближения элементарных частиц на расстояния 10−14{displaystyle 10^{-14}} см и меньше нужно сообщить им энергию, большую 1{displaystyle 1} ГэВ.^[7]

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

ΔJiΔJj⩾ℏ2|⟨Jk⟩|{displaystyle Delta J_{i}Delta J_{j}geqslant {frac {hbar }{2}}left|leftlangle J_{k}rightrangle right|}

где i,{displaystyle i,} j,{displaystyle j,} k{displaystyle k} различны и Ji{displaystyle J_{i}} обозначает угловой момент вдоль оси xi{displaystyle x_{i}}.

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

ΔEΔt⩾ℏ2{displaystyle Delta EDelta tgeqslant {frac {hbar }{2}}}

Это соотношение можно понимать одним из трёх возможных способов^[8]:

1. 
   ΔE{displaystyle Delta E} — неопределённость энергии состояния микрообъекта, пребывающего в этом состоянии время Δt{displaystyle Delta t}.


2. 
   ΔE{displaystyle Delta E} — неопределённость энергии микрообъекта в некотором процессе длительностью Δt{displaystyle Delta t}.


3. 
   ΔE{displaystyle Delta E} — максимальная точность определения энергии квантовой системы, достижимая путём процесса измерения, длящегося время Δt{displaystyle Delta t}.

Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет.^[9]

• Соотношение неопределённости между числом фотонов и фазой волны. Рассмотрим монохроматическое электромагнитное излучение в

некотором объёме. С корпускулярной точки зрения, оно представляет собой коллектив N{displaystyle N} фотонов с энергией каждого фотона ℏω{displaystyle hbar omega }. С волновой точки зрения, оно представляет собой классическую волну с фазой Φ=ωt{displaystyle Phi =omega t}. Корпускулярная N{displaystyle N} и волновая Φ{displaystyle Phi } величины связаны соотношением неопределённостей:

ΔNΔΦ⩾1{displaystyle Delta NDelta Phi geqslant 1}

Это соотношение следует из соотношения неопределённостей для энергии и времени. Для измерения энергии любого квантового объекта с точностью ΔE{displaystyle Delta E} надо затратить время Δt⩾ℏΔE{displaystyle Delta tgeqslant {frac {hbar }{Delta E}}}. Неопределённость энергии коллектива фотонов ΔE=ℏωΔN{displaystyle Delta E=hbar omega Delta N}, где ΔN{displaystyle Delta N} -
неопределённость числа фотонов. Чтобы её измерить, необходимо время Δt⩾ℏℏωΔN{displaystyle Delta tgeqslant {frac {hbar }{hbar omega Delta N}}}. За это время изменение фазы волны ΔΦ=ωΔt{displaystyle Delta Phi =omega Delta t}. Получаем ΔΦ⩾1ΔN{displaystyle Delta Phi geqslant {frac {1}{Delta N}}}^[10].

• Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряжённых оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента Lz{displaystyle L_{z}} и оператор азимутального угла φ{displaystyle varphi }. Первый из них является самосопряжённым только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор φ{displaystyle varphi }, очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо φ{displaystyle varphi } взять sin⁡φ{displaystyle sin varphi }, что приведёт к следующей форме принципа неопределённости^{[** 1]}:

⟨(ΔLz)2⟩⟨(Δsin⁡φ)2⟩⩾ℏ24⟨(cos⁡φ)2⟩{displaystyle langle (Delta L_{z})^{2}rangle langle (Delta sin varphi )^{2}rangle geqslant {frac {hbar ^{2}}{4}}langle (cos varphi )^{2}rangle }.

Однако, при ⟨(φ)2⟩≪π2{displaystyle langle (varphi )^{2}rangle ll pi ^{2}} условие периодичности несущественно и принцип неопределённости принимает привычный вид:

⟨(ΔLz)2⟩⟨(Δφ)2⟩⩾ℏ24{displaystyle langle (Delta L_{z})^{2}rangle langle (Delta varphi )^{2}rangle geqslant {frac {hbar ^{2}}{4}}}.

Замечание |

Для трёхмерного осциллятора принцип неопределённости принимает вид:

⟨ΔLz⟩⟨Δφ⟩(1−3(⟨Δφ⟩)2π2)⩾ℏ2{displaystyle langle Delta L_{z}rangle {frac {langle Delta varphi rangle }{(1-{frac {3(langle Delta varphi rangle )^{2}}{pi ^{2}}})}}geqslant {frac {hbar }{2}}},

а для оператора числа частиц n{displaystyle n} и угла φ{displaystyle varphi } вид:

[(⟨Δn⟩)2+(⟨n⟩+12)2]12⟨Δφ⟩(1−3(⟨Δφ⟩)2π2)⩾ℏ2{displaystyle {frac {[(langle Delta nrangle )^{2}+(langle nrangle +{frac {1}{2}})^{2}]^{frac {1}{2}}langle Delta varphi rangle }{(1-{frac {3(langle Delta varphi rangle )^{2}}{pi ^{2}}})}}geqslant {frac {hbar }{2}}}.

(см. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады
в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., М., Наука, 1971. С. 58-59.)

Вывод в квантовой теории оценивания |

Принцип неопределённости координата-импульс альтернативно выводится как оценка максимального правдоподобия в квантовой теории оценивания.^[11]

Принцип неопределённости время-энергия альтернативно выводится как выражение квантового неравенства Крамера — Рао в квантовой теории оценивания, в случае когда измеряется положение частицы.^[12]

Интерпретации |

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы всё ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдёт, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости»^{[** 2]}. Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать»^{[** 3]}.

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут всё ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе |

Принцип неопределённости часто неправильно^{[источник не указан 2354 дня]} понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие^{[источник не указан 1623 дня]}. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Например, проекции импульса на оси x{displaystyle x} и y{displaystyle y} можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта: «Предвиденье, — понял он, — словно луч света, за пределами которого ничего не увидишь, он определяет точную меру… и, возможно, ошибку». Оказывается, и в его провидческих способностях крылось нечто вроде принципа неопределённости Гейзенберга: чтобы увидеть, нужно затратить энергию, а истратив энергию, изменишь увиденное."

Научный юмор |

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

См. также |

• Квантовая механика


• Квантовая физика


• Гейзенбаг


• Закон Гудхарта

Примечания |

Литература |

Источники

• Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.


• Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.


• Пономарёв Л. И. По ту сторону кванта. — М.: Молодая гвардия, 1971. — 304 с.

Журнальные статьи

• 
  Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift für Physik. — 1927. — Vol. 43. — P. 172—198. (Англ. перевод в кн.:: Wheeler J. A., Zurek H. Quantum Theory and Measurement. — Princeton Univ. Press. — 1983. — P. 62-84).


• 
  Мандельштам Л. И., Тамм И. Е. Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике. — Изв. Акад. наук СССР (сер. физ.). — 1945. — Т. 9. — С. 122—128.


• 
  Folland G., Sitaram A. The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey. — Journal of Fourier Analysis and Applications. — 1997. — P. 207—238.


• 
  Суханов А. Д. Новый подход к соотношению неопределённостей энергия-время. — Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2001. — Том 32. Вып. 5. — С. 1177.

О соотношениях неопределённостей Шрёдингера

• 
  Шрёдингер Э. К принципу неопределённостей Гейзенберга // Избранные труды по квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 210—217.


• 
  Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределённостей в квантовой механике. — Труды ФИАН СССР. — 1987. — Том 183. — С. 5-70.


• 
  Суханов А. Д. Соотношения неопределённостей Шрёдингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний. — Теоретическая и математическая физика. — 2002. — Том 132, № 3. — С. 449—468.


• 
  Суханов А. Д. Соотношение неопределённостей Шрёдингера для квантового осциллятора в термостате. — Теоретическая и математическая физика. — 2006. — Том 148, № 2. — С. 295—308.


• 
  Tarasov V. E. Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems. — Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 54. — No. 1. — 012112.


• 
  Тарасов В. Е. Вывод соотношения неопределённостей для квантовых гамильтоновых систем. — Московское научное обозрение. — 2011, № 10. — C. 3-6.

Дополнительно

Ссылки |

• Стэнфордская энциклопедия философии (англ.)


• aip.org: Квантовая механика 1925—1927 — Принцип неопределённости (англ.)


• Мир физики Эрика Вайсштейна — Принцип неопределённости (англ.)


• Уравнение Шрёдингера из точного принципа неопределённости (англ.)


• Джон Бэз о соотношении неопределённости время-энергия (англ.)