Rstykt

Квантовая механика

Δx⋅Δpx⩾ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x}geqslant {frac {hbar }{2}}} Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^[стиль].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения |

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шрёдингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы E=p2/2m{displaystyle E=p^{2}/2m}. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E2=p2c2+m2c4{displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определённой величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определённому ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шрёдингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Классический формализм теории поля |

Лагранжев формализм |

В лагранжевой механике функция Лагранжа L{displaystyle L} является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности L{displaystyle {mathcal {L}}}

L(t)=L(x0)=∫L(x0,x)d3x,{displaystyle L(t)=L(x^{0})=int {mathcal {L}}(x^{0},mathbf {x} )d^{3}mathbf {x} ,}

где жирным выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время.

Действие S{displaystyle S} по определению есть интеграл по времени от лагранжиана

S=∫dtL(t)=∫dx0d3xL(x0,x)=∫d4xL(x),{displaystyle S=int dtL(t)=int dx^{0}d^{3}mathbf {x} {mathcal {L}}(x^{0},mathbf {x} )=int d^{4}x{mathcal {L}}(x),}

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией ψ(x){displaystyle psi (x)}, которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

L(x)=L(ψ(x),∂νψ(x)).{displaystyle {mathcal {L}}(x)={mathcal {L}}(psi (x),partial _{nu }{psi }(x)).}

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа,^[1]:

∂∂xν(∂L∂(∂νψ))=∂L∂ψ.{displaystyle {frac {partial }{partial x^{nu }}}left({frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{nu }psi )}}right)={frac {partial {mathcal {L}}}{partial psi }}.}

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора L′(x)=L(x)+∂νfν(x){displaystyle {mathcal {L}}'(x)={mathcal {L}}(x)+partial _{nu }f^{nu }(x)}, физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полей |

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободных лагранжианов L0{displaystyle {mathcal {L}}_{0}} и лагранжиана взаимодействия LI{displaystyle {mathcal {L_{I}}}}:

L=L0+LI.{displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}}_{0}+{mathcal {L_{I}}}.}

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называемую константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Гамильтонов формализм |

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция здесь выступает в качестве обобщенной (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный (канонический) импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

π(t,x)=∂L(ψ,∂νψ)∂ψ˙(t,x).{displaystyle pi (t,mathbf {x} )={frac {{partial }{mathcal {L}}(psi ,partial _{nu }{psi })}{{partial }{dot {psi }}(t,mathbf {x} )}}.}

Тогда гамильтониан поля (плотность гамильтониана) равен по определению

H=πψ˙−L.{displaystyle {mathcal {H}}=pi {dot {psi }}-{mathcal {L}}.}

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

ψ˙=∂H∂π,π˙=−∂H∂ψ.{displaystyle {dot {psi }}={frac {partial {mathcal {H}}}{partial pi }},{dot {pi }}=-{frac {partial {mathcal {H}}}{partial psi }}.}

Динамика любых величин F(ψ,π){displaystyle F(psi ,pi )} в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

F˙={F,H},{displaystyle {dot {F}}={F,{mathcal {H}}},}

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций ψ{displaystyle psi } и π{displaystyle pi } выполнено следующее:

{ψ(x,t),π(y,t)}=1,{ψ(x,t),ψ(y,t)}={π(x,t),π(y,t)}=0.{displaystyle {psi (mathbf {x} ,t),pi (mathbf {y} ,t)}=1,{psi (mathbf {x} ,t),psi (mathbf {y} ,t)}={pi (mathbf {x} ,t),pi (mathbf {y} ,t)}=0.}

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поля |

Определение и виды симметрий |

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теорема |

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

• 
  C{displaystyle C} — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряженные.

• 
  P{displaystyle P} — Четность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.

• 
  T{displaystyle T} — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место CPT{displaystyle CPT}-симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трех преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема Нётер |

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно s{displaystyle s}-параметрической группы преобразований приводит к s{displaystyle s} динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций Fμ(x,ω){displaystyle F^{mu }(x,omega )}, а полевой функции — с помощью функции U(x,ω){displaystyle U(x,omega )}, где ω{displaystyle {omega }} — совокупность s{displaystyle s} параметров. Обозначим uk{displaystyle u_{k}} значение производной функции U{displaystyle U} по k{displaystyle k}-му параметру при нулевом значении параметров, а через fkμ{displaystyle f_{k}^{mu }} — значения производных функций Fμ(x,ω){displaystyle F^{mu }(x,omega )} по k{displaystyle k}-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определённые как Jkμ=∂L∂(∂μψ)(∂νψfkν−uk)−fkμL{displaystyle J_{k}^{mu }={frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{mu }psi )}}(partial _{nu }psi f_{k}^{nu }-u_{k})-f_{k}^{mu }{mathcal {L}}}, обладают свойством ∂μJkμ=0{displaystyle partial _{mu }J_{k}^{mu }=0}. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов Ck=∫d3xJk0{displaystyle C_{k}=int d^{3}xJ_{k}^{0}}

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям, является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы U(1){displaystyle U(1)} — группы умножений на eiα{displaystyle e^{ialpha }}. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель eiα{displaystyle e^{ialpha }} не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия	Нётеровские токи	Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции	Тензор энергии-импульса: Tνμ=∂L∂(∂μψ)∂νψ−δνμL{displaystyle T_{nu }^{mu }={frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{mu }psi )}}partial _{nu }psi -{delta }_{nu }^{mu }{mathcal {L}}}. В частности H=T00=∂L∂(∂0ψ)∂0ψ−L{displaystyle {mathcal {H}}=T_{0}^{0}={frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{0}psi )}}partial _{0}psi -{mathcal {L}}} — гамильтониан (плотность) поля.	Закон сохранения 4-импульса: Pν=∫d3xT0ν{displaystyle P^{nu }=int d^{3}xT^{0nu }}, в частности энергии (гамильтониана) H=P0{displaystyle H=P^{0}}
Лоренцевы вращения	Тензор (полного) момента Mτ(ρσ)=M0τ(ρσ)+Sτ(ρσ){displaystyle M^{tau (rho sigma )}=M_{0}^{tau (rho sigma )}+S^{tau (rho sigma )}}, где M0τ(ρσ)=xσTρτ−xρTστ{displaystyle M_{0}^{tau (rho sigma )}=x^{sigma }T^{rho tau }-x^{rho }T^{sigma tau }} — тензор орбитального момента, Sτ(ρσ)=−∂L∂(∂τψi)Aij(ρσ)ψj{displaystyle S^{tau (rho sigma )}=-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{tau }psi _{i})}}A_{i}^{j(rho sigma )}psi _{j}} — тензор спинового момента (спина), где Aij(ρσ){displaystyle A_{i}^{j(rho sigma )}} — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей Sτ(ρσ)=0{displaystyle S^{tau (rho sigma )}=0}	Закон сохранения полного момента Mρσ=M0ρσ+Sρσ{displaystyle M^{rho sigma }=M_{0}^{rho sigma }+S^{rho sigma }} — пространственного интеграла от M0(ρσ){displaystyle M^{0(rho sigma )}}
Глобальная калибровочная симметрия U(1){displaystyle U(1)} — умножение комплексной полевой функции на eiα{displaystyle e^{ialpha }}	4-вектор заряженного тока: Jμ=i(∂L∂(∂μψ∗)ψ∗−∂L∂(∂μψ)ψ){displaystyle J^{mu }=ileft({frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{mu }psi ^{*})}}psi ^{*}-{frac {partial {mathcal {L}}}{partial (partial _{mu }psi )}}psi right)}. Для вещественных полей равны нулю.	Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): Q=∫d3xJ0{displaystyle Q=int d^{3}mathbf {x} J^{0}}. Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полей |

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Полевая функция	ϕ(x)=12(ϕ1(x)+iϕ2(x)){displaystyle phi (x)={frac {1}{sqrt {2}}}(phi _{1}(x)+iphi _{2}(x))} — в общем случае комплексная функция. ϕ∗(x){displaystyle phi ^{*}(x)} — комплексно-сопряженная функция. Если ϕ∗(x)=ϕ(x){displaystyle phi ^{*}(x)=phi (x)} (то есть ϕ2(x)=0{displaystyle phi _{2}(x)=0}), то имеем вещественное скалярное поле ϕ1(x){displaystyle phi _{1}(x)} (переобозначив её просто как ϕ(x){displaystyle phi (x)})	Aμ(x){displaystyle A^{mu }(x)} — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства Aμ∗=Aμ{displaystyle A_{mu }^{*}=A_{mu }} (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, деленному на 2{displaystyle {sqrt {2}}})	ψ(x){displaystyle psi (x)}-четырехкомпонентная функция (биспинор)-столбец, ψ¯=ψ∗γ0{displaystyle {bar {psi }}=psi ^{*}gamma ^{0}} — дираковски сопряженная четырёхкомпонентная функция-строка, γμ{displaystyle gamma ^{mu }} — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц	Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.	Частицы со спином 1 (проекции 0,±1{displaystyle 0,pm 1}), заряженные или нейтральные	Заряженные частицы со спином 1/2 (±1/2{displaystyle pm 1/2})
Лагранжиан (L){displaystyle ({mathcal {L}})}	∂μϕ∗∂μϕ−m2ϕ∗ϕ=L(ϕ1)+L(ϕ2){displaystyle partial _{mu }phi ^{*}partial ^{mu }phi -m^{2}phi ^{*}phi ={mathcal {L}}(phi _{1})+{mathcal {L}}(phi _{2})}, где L(ϕ)=12(∂μϕ∂μϕ−m2ϕ2){displaystyle {mathcal {L}}(phi )={frac {1}{2}}(partial _{mu }phi partial ^{mu }phi -m^{2}phi ^{2})} — лагранжиан для вещественного поля ϕ{displaystyle phi }	−12Fμν∗Fμν+m2Aμ∗Aμ{displaystyle -{frac {1}{2}}F_{mu nu }^{*}F^{mu nu }+m^{2}A_{mu }^{*}A^{mu }}, где Fμν=∂μAν−∂νAμ{displaystyle F_{mu nu }=partial _{mu }A_{nu }-partial _{nu }A_{mu }} Для вещественного поля −14FμνFμν+12m2AμAμ{displaystyle -{frac {1}{4}}F_{mu nu }F^{mu nu }+{frac {1}{2}}m^{2}A_{mu }A^{mu }}	ψ¯(iγμ∂μ−m)ψ{displaystyle {bar {psi }}(igamma ^{mu }partial _{mu }-m)psi }
Уравнения движения Эйлера-Лагранжа	(∂μ∂μ+m2)ϕ=0{displaystyle (partial _{mu }partial ^{mu }+m^{2})phi =0} (уравнение Клейна-Гордона — верно и для сопряженной функции)	−(∂ν∂ν+m2)Aμ+∂μ∂νAν=0{displaystyle -(partial _{nu }partial ^{nu }+m^{2})A^{mu }+partial ^{mu }partial _{nu }A^{nu }=0} (Уравнение Прока) Дифференцирование по xμ{displaystyle x^{mu }} приводит (если m≠0{displaystyle mneq 0}) к ∂νAν=0{displaystyle partial _{nu }A^{nu }=0}. С этим условием (Лоренца) (∂ν∂ν+m2)Aμ=0{displaystyle (partial _{nu }partial ^{nu }+m^{2})A^{mu }=0}	(iγμ∂μ−m)ψ=0{displaystyle (igamma ^{mu }partial _{mu }-m)psi =0} — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса (Tμν){displaystyle (T^{mu nu })}, гамильтониан (H=T00){displaystyle ({mathcal {H}}=T^{00})}, 4-импульс (Pν){displaystyle (P^{nu })}	∂μϕ∗∂νϕ−gμνL{displaystyle partial ^{mu }phi ^{*}partial ^{nu }phi -g^{mu nu }{mathcal {L}}}, H=π∗π+∇ϕ∗∇ϕ+m2ϕ∗ϕ{displaystyle {mathcal {H}}=pi ^{*}pi +nabla phi ^{*}nabla phi +m^{2}phi ^{*}phi }, где π=ϕ˙{displaystyle pi ={dot {phi }}}, для вещественного поля — 12(π2+(∇ϕ)2+m2ϕ2){displaystyle {frac {1}{2}}(pi ^{2}+(nabla phi )^{2}+m^{2}phi ^{2})}	F∗μσ∂νAσ+∂νAσ∗Fμσ−gμνL{displaystyle F_{*}^{mu sigma }partial ^{nu }A_{sigma }+partial ^{nu }A_{sigma }^{*}F^{mu sigma }-g^{mu nu }{mathcal {L}}}	i2(ψ¯γμ∂νψ−∂νψ¯γμψ){displaystyle {frac {i}{2}}({bar {psi }}gamma ^{mu }partial ^{nu }psi -partial ^{nu }{bar {psi }}gamma ^{mu }psi )}, H=i2(ψ∗ψ˙−ψ˙∗ψ){displaystyle {mathcal {H}}={frac {i}{2}}(psi ^{*}{dot {psi }}-{dot {psi }}^{*}psi )}
4-вектор тока (Jμ){displaystyle (J^{mu })} и зяряд (Q){displaystyle (Q)}	Jμ=i(ϕ∗∂μϕ−ϕ∂μϕ∗){displaystyle J^{mu }=i(phi ^{*}partial ^{mu }phi -phi partial ^{mu }phi ^{*})}, Q=∫d3x(ϕ∗ϕ˙−ϕϕ˙∗){displaystyle Q=int d^{3}mathbf {x} (phi ^{*}{dot {phi }}-phi {dot {phi }}^{*})} для вещественного поля равны нулю	i(Aν∗Fμν−F∗μνAν){displaystyle i(A_{nu }^{*}F^{mu nu }-F_{*}^{mu nu }A_{nu })}	Jμ=ψ¯γμψ{displaystyle J^{mu }={bar {psi }}gamma ^{mu }psi }, Q=∫d3x(ψ∗ψ){displaystyle Q=int d^{3}mathbf {x} (psi ^{*}psi )}
Спин-тензор (Sτ(μν)){displaystyle (S^{tau (mu nu )})}	0	A∗μFντ−F∗μτAν+F∗ντAμ−A∗νFμτ{displaystyle A_{*}^{mu }F^{nu tau }-F_{*}^{mu tau }A^{nu }+F_{*}^{nu tau }A^{mu }-A_{*}^{nu }F^{mu tau }}	14ψ¯(γτσμν+σμνγτ)ψ{displaystyle {frac {1}{4}}{bar {psi }}(gamma ^{tau }sigma ^{mu nu }+sigma ^{mu nu }gamma ^{tau })psi }, где σμν=12i[γμ,γν]{displaystyle sigma ^{mu nu }={frac {1}{2i}}[gamma ^{mu },gamma ^{nu }]}

Локальные симметрии и калибровочные поля |

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы U(1){displaystyle U(1)} — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на eiα(x){displaystyle e^{ialpha (x)}}. Как отмечалось выше, все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле Aμ{displaystyle A_{mu }} и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

Dμ=∂μ−ieAμ,{displaystyle D_{mu }=partial _{mu }-ieA_{mu },}

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного Aμ{displaystyle A_{mu }}. По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля −14FμνFμν{displaystyle -{frac {1}{4}}F_{mu nu }F^{mu nu }}. В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

LQED=ψ¯(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμν=ψ¯(iγμ∂μ−m)ψ+eψ¯γμAμψ−14FμνFμν,{displaystyle {mathcal {L}}_{QED}={bar {psi }}(igamma ^{mu }D_{mu }-m)psi -{frac {1}{4}}F_{mu nu }F^{mu nu }={bar {psi }}(igamma ^{mu }partial _{mu }-m)psi +e{bar {psi }}gamma ^{mu }A_{mu }psi -{frac {1}{4}}F_{mu nu }F^{mu nu },}

то есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

LSQED=(Dμϕ)∗Dμϕ−14FμνFμν.{displaystyle {mathcal {L}}_{SQED}=(D_{mu }phi )^{*}D^{mu }phi -{frac {1}{4}}F_{mu nu }F^{mu nu }.}

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа U(1){displaystyle U(1)}) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

Dμ=I∂μ−igTaAμa,{displaystyle D_{mu }=Ipartial _{mu }-igT^{a}A_{mu }^{a},}

где Ta{displaystyle T^{a}} — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

С помощью такой ковариантной производной построен, например, лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД), соответствующий группе SU(3){displaystyle SU(3)}:

LQCD=q¯(iγμDμ−mI)q−14GμνaGaμν{displaystyle {mathcal {L}}_{mathrm {QCD} }={bar {q}}left(igamma ^{mu }D_{mu }-mIright)q-{frac {1}{4}}G_{mu nu }^{a}G_{a}^{mu nu }}, где Gμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfbcaAμbAνc,{displaystyle G_{mu nu }^{a}=partial _{mu }A_{nu }^{a}-partial _{nu }A_{mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{mu }^{b}A_{nu }^{c},,}

где fbca{displaystyle f_{bc}^{a}} — структурные константы группы, участвующие в коммутаторе генераторов (матриц Гелл-Манна): [Ta,Tb]=ifcabTc{displaystyle [T^{a},T^{b}]=if_{c}^{ab}T^{c}}

Импульсное представление |

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

ψ(x)=1(2π)2∫d4pf(p)eipx,{displaystyle psi (x)={frac {1}{(2pi )^{2}}}int d^{4}pf(p)e^{ipx},}

с учетом свойств Фурье-образа f(p){displaystyle f(p)}, в частности Фурье-образ производных ∂μψ(x){displaystyle partial _{mu }psi (x)} равен ipμf(p){displaystyle ip_{mu }f(p)}.

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна-Гордона.

Используя импульсное представление полевых функций, можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна-Гордона.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции: f(p){displaystyle f(mathbf {p} )} в выражении 1(2π)3/2∫d3p2p0f(p){displaystyle {frac {1}{(2pi )^{3/2}}}int {frac {d^{3}mathbf {p} }{sqrt {2p_{0}}}}f(mathbf {p} )}. a{displaystyle a} отвечает за частицу, b{displaystyle b} — за античастицу.	e−ipxa(p)+eipxb+(p){displaystyle e^{-ipx}a(mathbf {p} )+e^{ipx}b^{+}(mathbf {p} )}, для вещественного поля b=a{displaystyle b=a}.	∑n=13eμn(p)(e−ipxan(p)+eipxbn+(p)){displaystyle sum _{n=1}^{3}e_{mu }^{n}(mathbf {p} )(e^{-ipx}a_{n}(mathbf {p} )+e^{ipx}b_{n}^{+}(mathbf {p} ))}	∑r=12(e−ipxar(p)ur(p)+eipxbr+(p)vr(p){displaystyle sum _{r=1}^{2}(e^{-ipx}a_{r}(mathbf {p} )u_{r}(mathbf {p} )+e^{ipx}b_{r}^{+}(mathbf {p} )v_{r}(mathbf {p} )}
Плотность n(p){displaystyle n(mathbf {p} )} частиц с импульсом p{displaystyle mathbf {p} }. Общее число частиц N=∫d3pn(p){displaystyle N=int d^{3}mathbf {p} n(mathbf {p} )}. 4-импульс поля Pν=∫d3ppνn(p){displaystyle P^{nu }=int d^{3}mathbf {p} p^{nu }n(mathbf {p} )}	(a+(p)a(p)+b+(p)b(p)){displaystyle (a^{+}(mathbf {p} )a(mathbf {p} )+b^{+}(mathbf {p} )b(mathbf {p} ))}	∑n=13(an+(p)an(p)+bn+(p)bn(p)){displaystyle sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(mathbf {p} )a_{n}(mathbf {p} )+b_{n}^{+}(mathbf {p} )b_{n}(mathbf {p} ))}	∑r=12(ar+(p)ar(p)−br+(p)br(p)){displaystyle sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(mathbf {p} )a_{r}(mathbf {p} )-b_{r}^{+}(mathbf {p} )b_{r}(mathbf {p} ))}
Заряд (Q){displaystyle (Q)}	(a+(p)a(p)−b+(p)b(p)){displaystyle (a^{+}(mathbf {p} )a(mathbf {p} )-b^{+}(mathbf {p} )b(mathbf {p} ))}, для вещественного поля равен нулю	∑n=13(an+(p)an(p)−bn+(p)bn(p)){displaystyle sum _{n=1}^{3}(a_{n}^{+}(mathbf {p} )a_{n}(mathbf {p} )-b_{n}^{+}(mathbf {p} )b_{n}(mathbf {p} ))}	∑r=12(ar+(p)ar(p)−br+(p)br(p)){displaystyle sum _{r=1}^{2}(a_{r}^{+}(mathbf {p} )a_{r}(mathbf {p} )-b_{r}^{+}(mathbf {p} )b_{r}(mathbf {p} ))}
Проекция спина на направление импульса	0	b1+a1−b1a1++b2a2+−b2+a2{displaystyle b_{1}^{+}a_{1}-b_{1}a_{1}^{+}+b_{2}a_{2}^{+}-b_{2}^{+}a_{2}}, индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина ±1{displaystyle pm 1}, а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полей |

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

[ψ(x,t),ψ(x′,t)]=[π(x,t),π(x′,t)]=0{displaystyle [psi (mathbf {x} ,t),psi (mathbf {x'} ,t)]=[pi (mathbf {x} ,t),pi (mathbf {x'} ,t)]=0}, [π(x,t),ψ(x′,t)]=−iδ(3)(x−x′).{displaystyle [pi (mathbf {x} ,t),psi (mathbf {x'} ,t)]=-idelta ^{(3)}(mathbf {x-x'} ).}

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

[A,B]=AB−BA.{displaystyle [A,B]=AB-BA.}

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

[A,B]+=AB+BA.{displaystyle [A,B]_{+}=AB+BA.}

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

[ap,ap′+]=δ(p−p′),[ap,ap′]=[ap+,ap′+]=0.{displaystyle [a_{mathbf {p} },a_{mathbf {p'} }^{+}]=delta (mathbf {p} -mathbf {p'} ),[a_{mathbf {p} },a_{mathbf {p'} }]=[a_{mathbf {p} }^{+},a_{mathbf {p'} }^{+}]=0.}

Поле как набор гармонических осцилляторов |

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна-Гордона. Трехмерный (по трем пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна-Гордона)

∂t2ϕ(p,t)+(p2+m2)ϕ(p,t)=0,{displaystyle partial _{t}^{2}phi (mathbf {p} ,t)+(mathbf {p} ^{2}+m^{2})phi (mathbf {p} ,t)=0,}

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой ω=p2+m2{displaystyle omega ={sqrt {mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}} каждой фиксированной моды p{displaystyle mathbf {p} } Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния ϕn{displaystyle phi _{n}} можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

a^+ϕn=n+1ϕn+1{displaystyle {hat {a}}^{+}{phi }_{n}={sqrt {n+1}}{phi }_{n+1}}, a^ϕn=nϕn−1,{displaystyle {hat {a}}{phi }_{n}={sqrt {n}}{phi }_{n-1},}

а гамильтониан равен H=ℏω(n^+1/2){displaystyle H={hbar omega }{({hat {n}}+1/2)}}, где n^=a+a{displaystyle {hat {n}}={a}^{+}a}. Соответственно энергия осциллятора квантуется En=ℏω(n+1/2){displaystyle E_{n}={hbar }{omega }(n+1/2)}, где n{displaystyle n}- квантовое число-собственные значения оператора n^=a+a{displaystyle {hat {n}}={a}^{+}a}.

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число n{displaystyle n} на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией ℏω{displaystyle {hbar }{omega }}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом n{displaystyle n} может быть представлено как действие n{displaystyle n} операторов рождения на «нулевое» состояние:

ϕn=(a^+)nn!ϕ0.{displaystyle {phi }_{n}={frac {({hat {a}}^{+})^{n}}{sqrt {n!}}}phi _{0}.}

В случае N{displaystyle N} осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения a^k+,k=1,...,N{displaystyle {hat {a}}_{k}^{+},k=1,...,N}. Следовательно, произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения nk{displaystyle n_{k}} — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

ϕ(n1,...,nN)=∏(k)(ak^+)nknk!ϕ0.{displaystyle phi (n_{1},...,n_{N})=prod _{(k)}{frac {({hat {a_{k}}}^{+})^{n_{k}}}{sqrt {n_{k}!}}}phi _{0}.}

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Фоковское пространство. Вакуум. Фоковское представление |

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция ψ{displaystyle psi } и π{displaystyle pi }, в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действуют в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) Φ0{displaystyle Phi _{0}} или |0⟩{displaystyle |0rangle }, по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как

a(p)|0⟩=⟨0|a+(p)=0,⟨0|0⟩=1.{displaystyle a(mathbf {p} )|0rangle =langle 0|a^{+}(mathbf {p} )=0,langle 0|0rangle =1.}

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

|f⟩=∫d3p1d3p2...d3pkf(p1,p2,...,pk)a+(p1)a+(p2)...a+(pk)|0⟩.{displaystyle |frangle =int d^{3}mathbf {p_{1}} d^{3}mathbf {p_{2}} ...d^{3}mathbf {p_{k}} f(mathbf {p_{1}} ,mathbf {p_{2}} ,...,mathbf {p_{k}} )a^{+}(mathbf {p_{1}} )a^{+}(mathbf {p_{2}} )...a^{+}(mathbf {p_{k}} )|0rangle .}

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние a+(p)|0⟩{displaystyle a^{+}(mathbf {p} )|0rangle } имеет бесконечную норму (δ(0)){displaystyle (delta (0))}, однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определённым импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной.

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика |

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, :ϕ(x)ϕ(y):{displaystyle :phi (x)phi (y):} или можно указать под знаком некоторого условного оператора N{ϕ(x)ϕ(y)}{displaystyle {mathcal {N}}{phi (x)phi (y)}}

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

ϕ(x)ϕ(y)=ϕ+(x)ϕ+(y)+ϕ+(x)ϕ−(y)+ϕ−(x)ϕ+(y)+ϕ−(x)ϕ−(y).{displaystyle phi (x)phi (y)=phi ^{+}(x)phi ^{+}(y)+phi ^{+}(x)phi ^{-}(y)+phi ^{-}(x)phi ^{+}(y)+phi ^{-}(x)phi ^{-}(y).}

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

ϕ(x)ϕ(y)=(ϕ+(x)ϕ+(y)+ϕ+(x)ϕ−(y)+ϕ+(y)ϕ−(x)+ϕ−(x)ϕ−(y))+(ϕ−(x)ϕ+(y)−ϕ+(y)ϕ−(x))=N{ϕ(x)ϕ(y)}+[ϕ−(x),ϕ+(y)].{displaystyle phi (x)phi (y)=(phi ^{+}(x)phi ^{+}(y)+phi ^{+}(x)phi ^{-}(y)+phi ^{+}(y)phi ^{-}(x)+phi ^{-}(x)phi ^{-}(y))+(phi ^{-}(x)phi ^{+}(y)-phi ^{+}(y)phi ^{-}(x))={mathcal {N}}{phi (x)phi (y)}+[phi ^{-}(x),phi ^{+}(y)].}

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определяться только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

Tf1(x1)f2(x2)...fn(xn)=(−1)σfi1(xi1)fi2(xi2)...fin(xin){displaystyle Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{sigma }f_{i_{1}}(x_{i_{1}})f_{i_{2}}(x_{i_{2}})...f_{i_{n}}(x_{i_{n}})}, где xi10>xi10>...>xin0,{displaystyle x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0},}

где σ{displaystyle {sigma }} — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках ϕ(x)ϕ(y){displaystyle phi (x)phi (y)}. Как было указано выше, данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку ϕ(x)ϕ(y)¯{displaystyle {overline {phi (x)phi (y)}}}, равную коммутатору [ϕ−(x),ϕ+(y)]{displaystyle [phi ^{-}(x),phi ^{+}(y)]}, если x0>y0{displaystyle x^{0}>y^{0}} и коммутатору [ϕ−(y),ϕ+(x)]{displaystyle [phi ^{-}(y),phi ^{+}(x)]}, если y0>x0{displaystyle y^{0}>x^{0}}. Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

T{ϕ(x)ϕ(y)}=N{ϕ(x)ϕ(y)}+ϕ(x)ϕ(y)¯.{displaystyle {mathcal {T}}{phi (x)phi (y)}={mathcal {N}}{phi (x)phi (y)}+{overline {phi (x)phi (y)}}.}

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

T{f1f2...fn)}=∑(−1)σfi1fi2¯...fik−1fik¯N{fik+1...fin},{displaystyle {mathcal {T}}{f_{1}f_{2}...f_{n})}=sum (-1)^{sigma }{overline {f_{i_{1}}f_{i_{2}}}}...{overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{mathcal {N}}{f_{i_{k+1}}...f_{i_{n}}},}

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций (k{displaystyle k} — четные числа от 0 до n{displaystyle n}).

Основные коммутационные соотношения |

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна-Гордона с учетом сказанного выше

⟨0|ϕ(x)ϕ(y)|0⟩=⟨0|[ϕ−(x)ϕ+(y)]|0⟩=[ϕ−(x)ϕ+(y)]=1(2π)3∫∫d3pd3p′2p0p0′e−ip(x−y)[a(p)a+(p)]={displaystyle langle 0|phi (x)phi (y)|0rangle =langle 0|[phi ^{-}(x)phi ^{+}(y)]|0rangle =[phi ^{-}(x)phi ^{+}(y)]={frac {1}{(2pi )^{3}}}int int {frac {d^{3}mathbf {p} d^{3}mathbf {p'} }{2{sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}[a(mathbf {p} )a^{+}(mathbf {p} )]=}

=1(2π)3∫∫d3pd3p′2p0p0′e−ip(x−y)δ(p−p′)=1(2π)3∫d3p2p0e−ip(x−y).{displaystyle ={frac {1}{(2pi )^{3}}}int int {frac {d^{3}mathbf {p} d^{3}mathbf {p'} }{2{sqrt {p_{0}p'_{0}}}}}e^{-ip(x-y)}delta (mathbf {p} -mathbf {p'} )={frac {1}{(2pi )^{3}}}int {frac {d^{3}mathbf {p} }{2p_{0}}}e^{-ip(x-y)}.}

Обозначим эту функцию как D−(x−y){displaystyle D^{-}(x-y)}. Это амплитуда распространения частицы из точки y{displaystyle y} в точку x{displaystyle x}. Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Очевидно, коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

[ϕ(x)ϕ(y)]=D−(x−y)−D−(y−x)=D(x−y)=1(2π)3∫d3p2p0(e−ip(x−y)−e−ip(y−x)).{displaystyle [phi (x)phi (y)]=D^{-}(x-y)-D^{-}(y-x)=D(x-y)={frac {1}{(2pi )^{3}}}int {frac {d^{3}mathbf {p} }{2p_{0}}}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)}).}

Для любого пространственноподобного интервала (x−y)2<0{displaystyle (x-y)^{2}<0} можно выбрать систему отчета так, чтобы x−y{displaystyle x-y} сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделенных пространственноподобным интервалом, возможны измерения, и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведем без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля [a±(p),ϕ(x)]=±e±ipx(2π)3/22p0{displaystyle [a^{pm }(mathbf {p} ),phi (x)]=pm {frac {e^{pm ipx}}{(2pi )^{3/2}{sqrt {2p_{0}}}}}}

Для спинорного поля [ar(p),ψ¯(x)]=eipxu¯r(p)(2π)3/22p0{displaystyle [a_{r}(mathbf {p} ),{bar {psi }}(x)]={frac {e^{ipx}{bar {u}}_{r}(mathbf {p} )}{(2pi )^{3/2}{sqrt {2p_{0}}}}}}

Для электромагнитного поля [aλ(p),Aμ(x)]=−eipxeμλ(p)(2π)3/22p0{displaystyle [a_{lambda }(mathbf {p} ),A_{mu }(x)]=-{frac {e^{ipx}e_{mu }^{lambda }(mathbf {p} )}{(2pi )^{3/2}{sqrt {2p_{0}}}}}}

Пропагаторы |

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

Dc(x−y)=i⟨0|Tϕ(x)ϕ(y)|0⟩=i(θ(x0−y0)D−(x−y)+θ(y0−x0)D−(y−x))=i(2π)3∫d3p2p0(θ(x0−y0)e−ip(x−y)+θ(y0−x0)e−ip(y−x)).{displaystyle D^{c}(x-y)=ilangle 0|Tphi (x)phi (y)|0rangle =i(theta (x_{0}-y_{0})D^{-}(x-y)+theta (y_{0}-x_{0})D^{-}(y-x))={frac {i}{(2pi )^{3}}}int {frac {d^{3}mathbf {p} }{2p_{0}}}(theta (x_{0}-y_{0})e^{-ip(x-y)}+theta (y_{0}-x_{0})e^{-ip(y-x)}).}

Очевидно, функция Dc(x){displaystyle D^{c}(x)} является четной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна-Гордона, то есть

(∂2+m2)Dc(x)=δ(x).{displaystyle (partial ^{2}+m^{2})D^{c}(x)=delta (x).}

Следовательно, 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален (m2−p2)−1{displaystyle (m^{2}-p^{2})^{-1}}. Однако, в силу неопределенности в точках на массовой поверхности m2−p2=0{displaystyle m^{2}-p^{2}=0} импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

Dc(x)=1(2π)4∫d4pe−ipxm2−p2−iϵ,{displaystyle D^{c}(x)={frac {1}{(2pi )^{4}}}int {frac {d^{4}pe^{-ipx}}{m^{2}-p^{2}-iepsilon }},}

где ϵ{displaystyle epsilon } — бесконечно малая величина, которая задает обходы полюсов p0=±p2+m2{displaystyle p_{0}=pm {sqrt {mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}} при интегрировании по p0{displaystyle p_{0}}.

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

S-матрица |

Пусть задано начальное состояние полей |in⟩{displaystyle |inrangle } в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем |out⟩{displaystyle |outrangle }. Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор S{displaystyle S}, переводящий начальное состояние в конечное, называется оператором рассеяния:

|out⟩=S|in⟩.{displaystyle |outrangle =S|inrangle .}

Соответственно, амплитуда M{displaystyle {mathcal {M}}} перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

M=⟨out|S|in⟩.{displaystyle {mathcal {M}}=langle out|S|inrangle .}

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или S{displaystyle S}-матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что S{displaystyle S}-матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

S=Tei∫d4xLI(ϕ(x))=∑ninn!T(∫d4xLI(x))n=∑ninn!∫T∏j=1nd4xjLI(xj),{displaystyle S=Te^{iint d^{4}x{mathcal {L}}_{I}(phi (x))}=sum _{n}{frac {i^{n}}{n!}}T(int d^{4}x{mathcal {L}}_{I}(x))^{n}=sum _{n}{frac {i^{n}}{n!}}int Tprod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{mathcal {L}}_{I}(x_{j}),}

Te{displaystyle Te} — хронологическая экспонента, T{displaystyle T}-экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по T{displaystyle T}-произведениям (хронологическим произведениям) T∏j=1n{displaystyle Tprod _{j=1}^{n}}.

Пусть начальное состояние имеет вид |in⟩=a+(p1)...a+(ps)|0⟩{displaystyle |inrangle =a^{+}(mathbf {p_{1}} )...a^{+}(mathbf {p_{s}} )|0rangle }, а конечное состояние |out⟩=a+(p1′)...a+(pr′)|0⟩{displaystyle |outrangle =a^{+}(mathbf {p'_{1}} )...a^{+}(mathbf {p'_{r}} )|0rangle }. Тогда вклад n{displaystyle n}-го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи g{displaystyle g} выведена из лагранжиана взаимодействия):

ingnn!⟨0|a(p1′)...a(pr′)∫T∏j=1nd4xjLI(xj)a+(p1)...a+(ps)|0⟩.{displaystyle {frac {i^{n}g^{n}}{n!}}langle 0|a(mathbf {p'_{1}} )...a(mathbf {p'_{r}} )int Tprod _{j=1}^{n}d^{4}x_{j}{mathcal {L}}_{I}(x_{j})a^{+}(mathbf {p_{1}} )...a^{+}(mathbf {p_{s}} )|0rangle .}

С учетом теоремы Вика такого рода вакуумные средние будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среднего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов ⟨0|0⟩{displaystyle langle 0|0rangle }, что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом, не остается операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую часть этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются, можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Пример |

Правила и диаграммы Фейнмана |

Функциональный интеграл |

Спонтанное нарушение симметрии. Хиггсовский механизм |

Расходимости. Регуляризация, перенормировка, ренормгруппа |

Аксиоматическая квантовая теория поля |

Подход Боголюбова

Подход Уайтмана

Подход Хаага-Рюэля

Нелокальная квантовая теория поля |

Основана на предположении о нелокальности взаимодействий. Взаимодействия рассматриваемых квантовых полей происходят не в точке, а в области пространства. Это предположение позволяет избежать ультрафиолетовых расходимостей.

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени |

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени^[2]. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

См. также |

	Квантовая теория поля на Викискладе

• Теория всего


• Квантовополевая теория возмущений в статистической физике

Примечания |

Литература |

• 
  Квантовая теория поля // Физическая энциклопедия / гл. редактор А. М. Прохоров.


• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука, 1987. — 616 с.


• 
  Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с. (недоступная ссылка)
  


• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — .mw-parser-output .ts-comment-commentedText{border-bottom:1px dotted;cursor:help}@media(hover:none){.mw-parser-output .ts-comment-commentedText:not(.rt-commentedText){border-bottom:0;cursor:auto}}
  М.: Наука, 1978. — 296+408 с.


• Вайнберг С. Квантовая теория поля. —
  М.: Физматлит, 2003. — Т. 1, 2. — 648+528 с.


• Вайнберг С. Квантовая теория полей. —
  М.: Фазис, 2002. — Т. 3. — 458 с.


• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.


• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.


• 
  Исаев П. С. Обыкновенные, странные, очарованные, прекрасные. — М.: Энергоатомиздат, 1995. — 320 с. (об истории развития теоретических идей в физике элементарных частиц)
  


• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.


• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. / Ред. пер. А. А. Белавин. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.


• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.


• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. — М.: Наука, 1988. — 144 с.

Видеолекции по КТП |

• Видео Лекции: Квантовая электродинамика (профессор Фадин В. С., 2013 г.)


• Видео Лекции: Теория электрослабых взаимодействий (профессор Черняк В. Л., 2013 г.)


• Видео Лекции: Теория сильных взаимодействий (профессор Фадин В. С., 2014 г.)


• Видео Лекции: Суперсимметрия в квантовой теории поля. Спецкурс проф. Черняка В. Л. (2013 г.)