Rstykt

Гипервещественные числа или гипердействительные числа — расширение поля вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }, которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде конечной суммы

1+1+⋯+1.{displaystyle 1+1+cdots +1.}

Термин англ. hyper-real number был введен американским математиком Эдвином Хьюиттом^[en] в 1948 году^[1].

Формальное определение |

Система гипервещественных представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин.
Множество гипервещественных чисел ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } представляет собой упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы 1+1+⋯+1.{displaystyle 1+1+cdots +1.} Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности^[en] Лейбница.
Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об R{displaystyle mathbb {R} } справедливы и для ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} }.
Например, правило коммутативности сложения х + у = у + х, справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных.
Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности, метод исчерпывания.
В 1960 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом.
Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производная f(x){displaystyle f(x)} становится f′(x)=st(f(x+Δx)−f(x)Δx){displaystyle f'(x)={rm {st}}left({frac {f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}}right)} для бесконечно малого Δx{displaystyle Delta x}, где st(){displaystyle st()} означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел |

Положим, что X{displaystyle X} является тихоновским пространством, которое также называется T3.5{displaystyle T_{3.5}} пространством, а C(X){displaystyle C(X)} — алгебра непрерывных вещественных функций на X{displaystyle X}. Пусть M{displaystyle M} есть максимальный идеал в C(X){displaystyle C(X)}.
Тогда факторкольцо A=C(X)/M{displaystyle A=C(X)/M}, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если F{displaystyle F} строго содержит R{displaystyle mathbb {R} }, то M{displaystyle M} называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а M{displaystyle M} — гипервещественным полем.
Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля F{displaystyle F} больше, чем у поля R{displaystyle mathbb {R} }, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство X{displaystyle X} является дискретным пространством, в этом случае X{displaystyle X} можно отождествить с мощностью множества κ и C(X){displaystyle C(X)} с вещественной алгеброй Rκ{displaystyle mathbb {R} ^{kappa }} функций κ от R{displaystyle mathbb {R} }.
Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями^[en] R{displaystyle mathbb {R} } и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Примечания |

Литература |

Успенский В. А. (1987). Что такое нестандартный анализ? М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы.