Rstykt

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

F(X)=∑n=0∞anXn,{displaystyle F(X)=sum limits _{n=0}^{infty }a_{n}X^{n},}

в котором коэффициенты an{displaystyle a_{n}} принадлежат некоторому кольцу R{displaystyle R}.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятия |

Алгебраические операции |

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (+{displaystyle +}), умножения (⋅{displaystyle cdot }), формального дифференцирования (′{displaystyle '}) и композиции (∘{displaystyle circ }) следующим образом.
Пусть

F(X)=∑n=0∞anXn,G(X)=∑n=0∞bnXn,H(X)=∑n=0∞cnXn.{displaystyle F(X)=sum limits _{n=0}^{infty }a_{n}X^{n},qquad G(X)=sum limits _{n=0}^{infty }b_{n}X^{n},qquad H(X)=sum limits _{n=0}^{infty }c_{n}X^{n}.}

Тогда

H=F+G⟺∀ncn=an+bn;{displaystyle H=F+Giff forall n,c_{n}=a_{n}+b_{n};}

H=F⋅G⟺∀ncn=∑k+l=nakbl;{displaystyle H=F,cdot ,Giff forall n,c_{n}=sum limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};}

H=F′⟺∀ncn=(n+1)an+1;{displaystyle H=F'iff forall n,c_{n}=(n+1)a_{n+1};}

H=F∘G⟺∀ncn=∑s=1nas∑k1+…+ks=nbk1bk2…bks{displaystyle H=Fcirc Giff forall n,c_{n}=sum limits _{s=1}^{n}a_{s}sum limits _{k_{1}+ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}ldots b_{k_{s}}} (при этом необходимо, чтобы b0=0{displaystyle b_{0}=0}).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом R{displaystyle R} сами образуют кольцо, обозначаемое R[[X]]{displaystyle R[[X]]}.

Метрика и топология |

В кольце R[[X]]{displaystyle R[[X]]} также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

d((an),(bn))=2−k,{displaystyle d((a_{n}),;(b_{n}))=2^{-k},}

где k{displaystyle k} — наименьшее натуральное число такое, что ak≠bk{displaystyle a_{k}neq b_{k}}.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы |

Формальный ряд

∑n=0∞anXn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}X^{n}}

в R[[X]]{displaystyle R[[X]]} является обратимым тогда и только тогда, когда a0{displaystyle a_{0}} является обратимым в R{displaystyle R}. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен a0b0{displaystyle a_{0}b_{0}}, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда определяются по формуле:

b0=1a0,bn=−1a0∑i=1naibn−i,∀n⩾1.{displaystyle {begin{aligned}b_{0}&={frac {1}{a_{0}}},\b_{n}&=-{frac {1}{a_{0}}}sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},qquad forall ngeqslant 1.end{aligned}}}

Свойства |

• 
  Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы M{displaystyle M}, для которых M∩R{displaystyle Mcap R} является максимальным идеалом в R{displaystyle R} и M{displaystyle M} есть порождение X{displaystyle X} и M∩R{displaystyle Mcap R}.


• Если R{displaystyle R} является локальным кольцом, то локальным кольцом является также R[[X]]{displaystyle R[[X]]}.


• 
  R{displaystyle R} — нётерово кольцо, то также R[[X]]{displaystyle R[[X]]} является кольцом Нётер.


• Если R{displaystyle R} — область целостности, то R[[X]]{displaystyle R[[X]]} также будет областью целостности.


• 
  Метрическое пространство (R[[X]],d){displaystyle (R[[X]],;d)} является полным.


• Кольцо R[[X]]{displaystyle R[[X]]} является компактным тогда, когда кольцо R{displaystyle R} является конечным.


• 
  Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом^[1].

См. также |

• Степенной ряд


• Производящая функция последовательности

Ссылки |

• 
  Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.


• 
  Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.

Примечания |