Rstykt

Обозначение пустого множества

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

∈{displaystyle in }-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Пустое множество играет исключительно важную роль в математике.^[1]

Обозначения пустого множества |

Обычно пустое множество обозначают как ∅{displaystyle varnothing }, ∅{displaystyle emptyset } или {}{displaystyle {}}.

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: 0{displaystyle 0} и Λ{displaystyle Lambda }.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅).

Символы ∅{displaystyle varnothing } и ∅{displaystyle emptyset } введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ ∅{displaystyle varnothing } идентичен букве Ø в датско-норвежском алфавите^[2].

Свойства пустого множества |

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ∀a (a∉∅){displaystyle forall a (anotin varnothing )} и, в частности, ∅∉∅{displaystyle varnothing notin varnothing }.


• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ∀a (∅⊆a){displaystyle forall a (varnothing subseteq a)} и, в частности, ∅⊆∅{displaystyle varnothing subseteq varnothing }.


• 
  Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,∀a (∅∪a=a){displaystyle forall a (varnothing cup a=a)} и, в частности, ∅∪∅=∅{displaystyle varnothing cup varnothing =varnothing }.


• 
  Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ∀a (∅∩a=∅){displaystyle forall a (varnothing cap a=varnothing )} и, в частности, ∅∩∅=∅{displaystyle varnothing cap varnothing =varnothing }.


• 
  Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, ∀a (a∩a¯=∅){displaystyle forall a (acap {overline {a}}=varnothing )}.


• 
  Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ∀a (a∖∅=a){displaystyle forall a (asetminus varnothing =a)} и, в частности, ∅∖∅=∅{displaystyle varnothing setminus varnothing =varnothing }.


• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ∀a (∅∖a=∅){displaystyle forall a (varnothing setminus a=varnothing )} и, в частности, ∅∖∅=∅{displaystyle varnothing setminus varnothing =varnothing }.


• 
  Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ∀a (∅△a=a ∧ a△∅=a){displaystyle forall a (varnothing triangle a=a land atriangle varnothing =a)} и, в частности, ∅△∅=∅{displaystyle varnothing triangle varnothing =varnothing }
  


• 
  Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ∀a (∅×a=∅ ∧ a×∅=∅){displaystyle forall a (varnothing times a=varnothing land atimes varnothing =varnothing )} и, в частности, ∅×∅=∅{displaystyle varnothing times varnothing =varnothing }.


• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, Trans(∅){displaystyle mathrm {Trans} (varnothing )}, где Trans(∅)⇔∀b (b∈∅→b⊆∅){displaystyle mathrm {Trans} (varnothing )Leftrightarrow forall b (bin varnothing to bsubseteq varnothing )}.


• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, Ord(∅){displaystyle mathrm {Ord} (varnothing )}, где Ord(∅)⇔Trans(∅) ∧ ∀b (b∈∅→Trans(b)){displaystyle mathrm {Ord} (varnothing )Leftrightarrow mathrm {Trans} (varnothing ) land forall b (bin varnothing to mathrm {Trans} (b))}.


• 
  Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, |∅|=0{displaystyle |varnothing |=0}.


• 
  Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, μ(∅)=0{displaystyle mu (varnothing )=0}
  

См. также |

• Аксиома пустого множества


• Аксиоматика теории множеств

Ссылки |

Литература |

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.


• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.