Rstykt

Эта статья нуждается в переработке. Обсуждение здесь. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)^[1].

Определение |

Пусть f(x){displaystyle f(x)} определена на отрезке [a;b]{displaystyle [a;b]}. Разобьём [a;b]{displaystyle [a;b]} на части несколькими произвольными точками: a=x0<x1<x2<…<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}=b}.

Тогда говорят, что произведено разбиение R{displaystyle R} отрезка [a;b].{displaystyle [a;b].}
Далее выберем произвольную точку ξi∈[xi;xi+1]{displaystyle xi _{i}in [x_{i};x_{i+1}]}, i=0,n−1¯{displaystyle i={overline {0,n-1}}}.

Определённым интегралом от функции f(x){displaystyle f(x)} на отрезке [a;b]{displaystyle [a;b]}называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю λR→0{displaystyle lambda _{R}rightarrow 0}, если он существует независимо от разбиения R{displaystyle R} и выбора точек ξi{displaystyle xi _{i}}, то есть

∫abf(x)dx=limΔx→0∑i=0n−1f(ξi)Δxi{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dx=lim limits _{Delta xrightarrow 0}sum limits _{i=0}^{n-1}f(xi _{i})Delta x_{i}}

Если существует указанный предел, то функция f(x){displaystyle f(x)} называется интегрируемой на [a;b]{displaystyle [a;b]} по Риману.

Обозначения |

∫abf(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dx}

• 
  a{displaystyle a} — нижний предел.


• 
  b{displaystyle b} — верхний предел.


• 
  f(x){displaystyle f(x)} — подынтегральная функция.


• 
  Δxi{displaystyle Delta x_{i}} — длина частичного отрезка.


• 
  σR{displaystyle sigma _{R}} — интегральная сумма от функции f(x){displaystyle f(x)} на [a;b]{displaystyle [a;b]} соответствующей разбиению R{displaystyle R}.


• 
  λR=supΔxi{displaystyle lambda _{R}=sup {Delta x_{i}}} — максимальная из длин частичных отрезков.

Свойства |

Если функция f(x){displaystyle f(x)} интегрируема по Риману на [a;b]{displaystyle [a;b]}, то она ограничена на нем.

Геометрический смысл |

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл ∫abf(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx} численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a{displaystyle x=a} и x=b{displaystyle x=b} и графиком функции f(x){displaystyle f(x)}.

Примеры вычислений |

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. ∫89x2dx=x33|89=7293−5123=2173=72,(3)≈72,3{displaystyle int limits _{8}^{9}x^{2},dx={frac {x^{3}}{3}}{Big |}_{8}^{9}={frac {729}{3}}-{frac {512}{3}}={frac {217}{3}}=72{,}(3)approx 72{,}3}


2. ∫1bdxx=ln⁡x|1b=ln⁡b{displaystyle int limits _{1}^{b}{frac {dx}{x}}=ln x{Big |}_{1}^{b}=ln b}


3. ∫142dxx=2ln⁡x|14≈2,8{displaystyle int limits _{1}^{4}{frac {2dx}{x}}=2ln x{Big |}_{1}^{4}approx 2{,}8}

Примечания |

Литература |

• 
  Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии. 

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.