Rstykt

Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Определение |

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве E{displaystyle E}, также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E{displaystyle E}, оно обычно обозначается E∗{displaystyle E^{*}}. Множество всех линейных функционалов на E{displaystyle E}, не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к E{displaystyle E}, оно обычно обозначается E#{displaystyle E^{#}} ^[1].

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство E{displaystyle E} конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство E∗=E#{displaystyle E^{*}=E^{#}} состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на E{displaystyle E}. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда E{displaystyle E} бесконечномерное, вообще говоря, E∗≠E#{displaystyle E^{*}neq E^{#}}^[1].

В тензорном исчислении применяется обозначение xk{displaystyle x^{k}} для элементов E{displaystyle E} (верхний, или контравариантный, индекс) и xk{displaystyle x_{k}} для элементов E∗{displaystyle E^{*}} (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображения |

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть V,W{displaystyle V,W} — векторные пространства, а V∗,W∗{displaystyle V^{*},W^{*}} — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения f:V→W{displaystyle f:Vto W} двойственное отображение f∗:W∗→V∗{displaystyle f^{*}:W^{*}to V^{*}} (в обратном порядке) определяется как

f∗(φ)=φ∘f{displaystyle f^{*}(varphi )=varphi circ f,}

для любого φ∈W∗{displaystyle varphi in W^{*}}.

Свойства |

Конечномерные пространства^[2] |

• Сопряжённое пространство E∗{displaystyle E^{*}} имеет ту же размерность, что и пространство E{displaystyle E} над полем F{displaystyle F}. Следовательно, пространства E{displaystyle E} и E∗{displaystyle E^{*}} изоморфны.


• Каждому базису e1,…,en{displaystyle e^{1},ldots ,e^{n}} пространства E{displaystyle E} можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис e1,…,en{displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} пространства E∗{displaystyle E^{*}}, где функционал ei{displaystyle e_{i}} — проектор на вектор ei{displaystyle e^{i}}:
  

ei(x)=ei(α1e1+…+αnen)=αi,∀x∈E.{displaystyle e_{i}(x)=e_{i}(alpha _{1}e^{1}+ldots +alpha _{n}e^{n})=alpha _{i},quad forall xin E.}

• Если пространство E{displaystyle E} евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между E{displaystyle E} и E∗{displaystyle E^{*}} существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением

v∈E↦f∈E∗,f(x)=⟨x,v⟩, ∀x∈E.{displaystyle vin Emapsto fin E^{*},quad f(x)=langle x,vrangle , forall xin E.}

• Второе сопряжённое пространство E∗∗{displaystyle E^{**}} изоморфно E{displaystyle E}. Более того, существует канонический изоморфизм между E{displaystyle E} и E∗∗{displaystyle E^{**}} (при этом не предполагается, что пространство E{displaystyle E} евклидово), определённый соотношением

x∈E↦z∈E∗∗,z(f)=f(x), ∀x∈E, ∀f∈E∗.{displaystyle xin Emapsto zin E^{**},quad z(f)=f(x), forall xin E, forall fin E^{*}.}

• Определенный выше канонический изоморфизм E→E∗∗{displaystyle Eto E^{**}} показывает, что пространства E{displaystyle E} и E∗{displaystyle E^{*}} играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для x∈E, f∈E∗{displaystyle xin E, fin E^{*}} часто пишут f(x)=(x,f){displaystyle f(x)=(x,f)} подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства |

• Если векторное пространство E{displaystyle E} нормированное, то сопряжённое пространство E∗{displaystyle E^{*}} имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство E∗{displaystyle E^{*}} — банахово^[3][1].

• Если пространство E{displaystyle E} гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между E{displaystyle E} и E∗{displaystyle E^{*}}, причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства E{displaystyle E}^[4].

• Сопряжённым к пространству Lp{displaystyle L^{p}}, 1<p<∞{displaystyle 1<p<infty }, является пространство Lq{displaystyle L^{q}}, где 1/p+1/q=1{displaystyle 1/p+1/q=1}. Аналогично, сопряжённым к lp{displaystyle l^{p}}, 1<p<∞{displaystyle 1<p<infty }, является lq{displaystyle l^{q}} с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщения |

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство E¯{displaystyle {bar {E}}}, совпадающее с E{displaystyle E} как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
  

  c¯x¯=cx¯{displaystyle {bar {c}}{bar {x}}={overline {cx}}}

  
  


• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. также |

• Ковариантность и контравариантность


• Рефлексивное пространство

Примечания |

Литература |

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.