Rstykt

График многочлена 7 степени.

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от n{displaystyle n} переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

∑IcIx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}}, где

• 
  I=(i1,i2,…,in){displaystyle I=(i_{1},i_{2},dots ,i_{n})} — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,


• 
  cI{displaystyle c_{I}} — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c0+c1x1+⋯+cmxm{displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+dots +c_{m}x^{m}}, где

• 
  ci{displaystyle c_{i}} — фиксированные коэффициенты,


• 
  x{displaystyle x} — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение» и «алгебраическая функция».

Изучение и применение |

График многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.

Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения |

• Многочлен вида cx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} называется одночленом или мономом мультииндекса I=(i1,…,in){displaystyle I=(i_{1},dots ,,i_{n})}.


• Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,…,0){displaystyle I=(0,dots ,,0)} называется свободным членом.


• 
  Полной степенью (ненулевого) одночлена cIx1i1x2i2⋯xnin{displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}cdots x_{n}^{i_{n}}} называется целое число |I|=i1+i2+⋯+in{displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+dots +i_{n}}.


• Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты cI{displaystyle c_{I}} ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.


• 
  Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением −∞{displaystyle -infty }.


• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,


• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.


• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R{displaystyle R} (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R{displaystyle R} без делителей нуля) которое обозначается R[x1,x2,…,xn].{displaystyle R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}].}
  


• Для многочлена p(x){displaystyle p(x)} одной переменной, решение уравнения p(x)=0{displaystyle p(x)=0} называется его корнем.

Полиномиальные функции |

Пусть A{displaystyle A} есть алгебра над кольцом R{displaystyle R}.
Произвольный многочлен p(x)∈R[x1,x2,…,xn]{displaystyle p(x)in R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]} определяет полиномиальную функцию

pR:A→A{displaystyle p_{R}:Ato A}.

Чаще всего рассматривают случай A=R{displaystyle A=R}.

В случае, если R{displaystyle R} есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция fp:Rn→R{displaystyle f_{p}:R^{n}to R} полностью определяет многочлен p.
Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p1(x)≡x{displaystyle p_{1}(x)equiv x} и p2(x)≡x2{displaystyle p_{2}(x)equiv x^{2}} из Z2[x]{displaystyle mathbb {Z} _{2}[x]} определяют тождественно равные функции Z2→Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}to mathbb {Z} _{2}}.

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

Виды многочленов |

• Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым^[en]*, если его старший коэффициент равен единице.


• Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
  
  • Например x2+xy+y2{displaystyle x^{2}+xy+y^{2}} — однородный многочлен двух переменных, а x2+y+1{displaystyle x^{2}+y+1} не является однородным.
  
  


• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства |

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.


• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.


• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
  
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
  
  

Делимость |

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов pq{displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен λ{displaystyle lambda }, то p или q делится на λ{displaystyle lambda }. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4−2{displaystyle x^{4}-2}, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x{displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать.
Над любым полем для любого n>2{displaystyle n>2} существуют многочлены от n{displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля.
Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения |

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).


• Квазимногочлен


• Тригонометрический многочлен

См. также |

• Базис Грёбнера


• Позином


• Сплайн


• Теорема Гаусса — Лукаса

Литература |

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.


• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.


• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.


• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.


• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.


• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки |

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.