Rstykt

Две, в общем случае, комплекснозначные функции φ1(t){displaystyle varphi _{1}(t)} и φ2(t){displaystyle varphi _{2}(t)}, принадлежащие пространству Лебега L2(E){displaystyle L_{2}(E)}, где E{displaystyle E} — измеримое множество, называются ортогональными, если

∫Eφ1(t)φ2(t)¯dt=0{displaystyle int limits _{E}!varphi _{1}(t){overline {varphi _{2}(t)}},dt=0}

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом w{displaystyle w} функции f{displaystyle f} и g{displaystyle g}, если

 ∫Ω⟨f(x),g(x)⟩w(x)dΩ=0{displaystyle int limits _{Omega }!langle f(x),g(x)rangle w(x),dOmega =0}

где ⟨f(x),g(x)⟩{displaystyle langle f(x),g(x)rangle } — скалярное произведение векторов f(x){displaystyle f(x)} и g(x){displaystyle g(x)} — значений векторнозначных функций f{displaystyle f} и g{displaystyle g} в точке x{displaystyle x}, x{displaystyle x} — точка области Ω{displaystyle Omega }, а dΩ{displaystyle dOmega } — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f(x){displaystyle f(x)}, g(x){displaystyle g(x)} скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f(x){displaystyle f(x)}, g(x){displaystyle g(x)}: ⟨f(x),g(x)⟩=f¯(x)g(x){displaystyle langle f(x),g(x)rangle ={bar {f}}(x)g(x)}.

Требование принадлежности функций пространству L2(E){displaystyle L_{2}(E)} связано с тем, что при p≠2{displaystyle pneq 2} пространства Lp(E){displaystyle L_{p}(E)} не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример |

1. 
   sin⁡x{displaystyle sin x} и cos⁡x{displaystyle cos x} являются ортогональными функциями на интервале [0,π]{displaystyle [0,pi ]}
   


2. 
   sin⁡(2πknx{displaystyle sin(2pi knx}) и cos⁡(2πknx){displaystyle cos(2pi knx)}, где n{displaystyle n} — целое, ортогональны на интервале [0,T],T=1/k{displaystyle [0,T],T=1/k}
   


3. 
   x{displaystyle x} и 1{displaystyle 1} ортогональны на интервале [−1,1]{displaystyle [-1,1]}
   

См. также |

• Ортогональность


• Ортогональная система


• Ортогональный базис


• Ряд Фурье

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.