Rstykt

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ² как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

V=−ρln⁡|z|.{displaystyle V=-rho ln |z|.}

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл |

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

Потенциал площади |

V(z)=∬Gρ(ζ)ln⁡1|z−ζ|dξdη,ζ=ξ+iη.{displaystyle V(z)=iint limits _{G}rho (zeta )ln {frac {1}{|z-zeta |}}dxi ,deta ,qquad zeta =xi +ieta .}

Если ρ(z)∈C(G¯){displaystyle rho (z)in C({overline {G}})}, то сам потенциал V(z)∈C1(R2){displaystyle V(z)in C^{1}(mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R2∖G{displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus G} и

V(z)=ln⁡1|z|∬Gρ(ζ)dξdη+O(1|z|), |z|→∞.{displaystyle V(z)=ln {frac {1}{|z|}}iint limits _{G}rho (zeta )dxi ,deta +Oleft({frac {1}{|z|}}right), |z|rightarrow infty .}

• Здесь, как это часто делается, подразумевается представление R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные ζ, z{displaystyle zeta , z} просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}, а если ρ{displaystyle rho } также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя |

V(0)(z)=μδSln⁡1|z|=∫Sμ(ζ)ln⁡1|z−ζ|dSζ.{displaystyle V^{(0)}(z)=mu delta _{S}ln {frac {1}{|z|}}=int limits _{S}mu (zeta )ln {frac {1}{|z-zeta |}}dS_{zeta }.}

Если μ(z)∈C(S){displaystyle mu (z)in C(S)}, то сам потенциал V(0)(z)∈C(R2){displaystyle V^{(0)}(z)in C(mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R2∖S{displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus S} и

V(0)(z)=ln⁡1|z|∫Sμ(ζ)dSζ+O(1|z|), |z|→∞.{displaystyle V^{(0)}(z)=ln {frac {1}{|z|}}int limits _{S}mu (zeta )dS_{zeta }+Oleft({frac {1}{|z|}}right), |z|rightarrow infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

(∂V(0)∂n)|+=−πμ(z)+∂V(0)(z)∂n,{displaystyle left({frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}right){Bigg |}_{+}=-pi mu (z)+{frac {partial V^{(0)}(z)}{partial mathbf {n} }},}

(∂V(0)∂n)|−=πμ(z)+∂V(0)(z)∂n.{displaystyle left({frac {partial V^{(0)}}{partial mathbf {n} }}right){Bigg |}_{-}=pi mu (z)+{frac {partial V^{(0)}(z)}{partial mathbf {n} }}.}

Логарифмический потенциал двойного слоя |

V(1)(z)=−ln⁡1|z|∗∂∂n(νδS)=∫Sν(ζ)∂∂n(ln⁡1|z−ζ|)dSζ=∫Sν(ζ)cos⁡φ|z−ζ|dSζ,{displaystyle V^{(1)}(z)=-ln {frac {1}{|z|}}*{frac {partial }{partial mathbf {n} }}(nu delta _{S})=int limits _{S}nu (zeta ){frac {partial }{partial mathbf {n} }}left(ln {frac {1}{|z-zeta |}}right)dS_{zeta }=int limits _{S}nu (zeta ){frac {cos varphi }{|z-zeta |}}dS_{zeta },}

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если ν(z)∈C(S){displaystyle nu (z)in C(S)}, то сам потенциал V(1)(z){displaystyle V^{(1)}(z)} гармоничен в R2∖G{displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus G} и

V(1)(z)=O(1|z|), |z|→∞.{displaystyle V^{(1)}(z)=Oleft({frac {1}{|z|}}right), |z|rightarrow infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то:

V(1)∈C(G¯)∩C(S)∩C(R2∖G){displaystyle V^{(1)}in C({overline {G}})cap C(S)cap C(mathbb {R} ^{2}setminus G)}

и

V+(1)(z)=πν(z)+V(1)(z),{displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=pi nu (z)+V^{(1)}(z),}

V−(1)(z)=−πν(z)+V(1)(z).{displaystyle V_{-}^{(1)}(z)=-pi nu (z)+V^{(1)}(z).}

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

V(1)={−2πν, z∈G,−πν, z∈S,0, z∈R2∖G¯.{displaystyle V^{(1)}={begin{cases}-2pi nu , zin G,\-pi nu , zin S,\0, zin mathbb {R} ^{2}setminus {overline {G}}.end{cases}}}

См. также |

• Задача Дирихле


• Задача Неймана


• Краевая задача


• Ньютонов потенциал


• Теория потенциала

Литература |

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.


• А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

Ссылки |

• Потенциал в Большой советской энциклопедии