Rstykt

Решение задачи Дирихле на кольце с краевыми условиями: u(2,φ)=0{displaystyle u(2,varphi )=0}, u(4,φ)=4sin⁡(5φ){displaystyle u(4,varphi )=4sin(5varphi )}

Задача Дирихле — вид задач, появляющийся при решении дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Названа в честь Иоганна Дирихле.

Постановка задачи |

Задача Дирихле ставится следующим образом: пусть в области Ω{displaystyle Omega } задано уравнение

Δu=0{displaystyle Delta u=0}

где Δ{displaystyle Delta } — оператор Лапласа. С краевыми условиями:

u|∂Ω=g(x){displaystyle {Bigl .}u{Bigr |}_{partial Omega }=g(mathbf {x} )}

Такая задача называется внутренней задачей Дирихле или первой краевой задачей. Сами условия называются условиями Дирихле или первыми краевыми условиями. Второе название может трактоваться шире, обозначая любую задачу решение дифференциального уравнения, когда известно значение искомой функции на всей границе области. В случае, когда надо найти значения функции вне области Ω{displaystyle Omega } задача называется внешней задачей Дирихле.

Связанные теоремы |

Аналитическое решение |

Аналитически задача Дирихле может быть решена с помощью теории потенциала. Решение однородного уравнения можно представить в виде^[1]:

u(x)=∫∂Ωg(x)∂G(x,y)∂ndx{displaystyle u(mathbf {x} )=int _{partial Omega }{g(mathbf {x} ){frac {partial G(mathbf {x} ,mathbf {y} )}{partial n}}dx}},

где G(x,y){displaystyle G(mathbf {x} ,mathbf {y} )} — функция Грина для оператора Лапласа в области Ω{displaystyle Omega }.

Численное решение |

Построение аналитического выражения для функции Грина в сложных областях может вызвать затруднения, поэтому для решения таких задач приходится пользоваться численными методами. Для каждого метода свои особенности учёта первых краевых:

• В методе конечных разностей для узлов на границе области записывается уравнение qi=g(xi){displaystyle mathbf {q} _{i}=g(mathbf {x} _{i})}, где i{displaystyle i} — номер соответствующего узла.


• В методе конечных элементов такие краевые условия называют главными краевыми условиями и они учитываются на этапе сборки матрицы, для всех весов связанных с границей уравнения заменяются на уравнения вида qi=g(xi){displaystyle mathbf {q} _{i}=g(mathbf {x} _{i})}, далее выполняется несколько шагов методом Гаусса, чтобы полученная матрица была симметричной^[2].

Физическая интерпретация |

Физическая интерпретация условий Дирихле — поведение искомой величины на границе:

• Температура, если рассматривается уравнение теплопроводности
  


• Поле скорости, если рассматривается уравнение Стокса
  


• Магнитное поле или электрическое поле, если рассматривается некоторое уравнение, получаемое из уравнений Максвелла (тогда краевые условия называют магнитными или электрическими краевыми условиями, соответственно).

См. также |

• Эллиптическое уравнение


• Задача Неймана


• Интеграл Пуассона


• Преобразование Кельвина

Примечания |