Rstykt

В этой статье отсутствует преамбула. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

Линейная алгебра |

Преобразование φ∗{displaystyle varphi ^{*}} называется сопряженным линейному преобразованию φ{displaystyle varphi }, если для любых векторов x{displaystyle x} и y{displaystyle y} выполнено равенство (φ(x),y)=(x,φ∗(y)){displaystyle left(varphi left(xright),yright)=left(x,varphi ^{*}left(yright)right)}. У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой A∗=Γ−1ATΓ{displaystyle A^{*}=Gamma ^{-1}A^{T}Gamma }, если пространство евклидово, и формулой A∗=Γ−1ATΓ¯{displaystyle A^{*}={overline {Gamma ^{-1}A^{T}Gamma }}} в унитарном пространстве. Γ{displaystyle Gamma } здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид A∗=AT{displaystyle A^{*}=A^{T}} и A∗=A¯T{displaystyle A^{*}={bar {A}}^{T}}.

Общее линейное пространство |

Пусть E,L{displaystyle E,,L} — линейные пространства, а E∗,L∗{displaystyle E^{*},,L^{*}} — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на E,L{displaystyle E,,L}). Тогда для любого линейного оператора A:E→L{displaystyle Acolon Eto L} и любого линейного функционала g∈L∗{displaystyle gin L^{*}} определён линейный функционал f∈E∗{displaystyle fin E^{*}} — суперпозиция g{displaystyle g} и A{displaystyle A}: f(x)=g(A(x)){displaystyle f(x)=g(A(x))}. Отображение g↦f{displaystyle gmapsto f} называется сопряженным линейным оператором и обозначается A∗:L∗→E∗{displaystyle A^{*}colon L^{*}to E^{*}}.

Если кратко, то (A∗g,x)=(g,Ax){displaystyle (A^{*}g,x)=(g,Ax)}, где (B,x){displaystyle (B,x)} — действие функционала B{displaystyle B} на вектор x{displaystyle x}.

Топологическое линейное пространство |

Пусть E,L{displaystyle E,,L} — топологические линейные пространства, а E∗,L∗{displaystyle E^{*},,L^{*}} — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на E,L{displaystyle E,,L}). Для любого непрерывного линейного оператора A:E→L{displaystyle Acolon Eto L} и любого непрерывного линейного функционала g∈L∗{displaystyle gin L^{*}} определён непрерывный линейный функционал f∈E∗{displaystyle fin E^{*}} — суперпозиция g{displaystyle g} и A{displaystyle A}: f(x)=g(A(x)){displaystyle f(x)=g(A(x))}. Нетрудно проверить, что отображение g↦f{displaystyle gmapsto f} линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также A∗:L∗→E∗{displaystyle A^{*}colon L^{*}to E^{*}}.

Банахово пространство |

Пусть A:X→Y{displaystyle Acolon Xto Y} — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства X{displaystyle X} в банахово пространство Y{displaystyle Y}^[1] и пусть X∗,Y∗{displaystyle X^{*},Y^{*}} — сопряжённые пространства. Обозначим ∀x∈X,f∈Y∗[Ax,f]=f(Ax){displaystyle forall xin X,fin Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)}. Если f{displaystyle f} — фиксировано, то [Ax,f]{displaystyle [Ax,f]} — линейный непрерывный функционал в X,[Ax,f]∈X∗{displaystyle X,[Ax,f]in X^{*}}. Таким образом, для ∀f∈Y∗{displaystyle forall fin Y^{*}} определён линейный непрерывный функционал из X∗{displaystyle X^{*}}, поэтому определён оператор A∗:Y∗→X∗{displaystyle A^{*}colon Y^{*}to X^{*}}, такой что [Ax,f]=[x,A∗f]{displaystyle [Ax,f]=[x,A^{*}f]}.

A∗{displaystyle A^{*}} называется сопряжённым оператором.
Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для A∗{displaystyle A^{*}} справедливы следующие свойства:

• Оператор A∗{displaystyle A^{*}} — линейный.


• Если A{displaystyle A} — линейный непрерывный оператор, то A∗{displaystyle A^{*}} также линейный непрерывный оператор.


• Пусть O{displaystyle O} — нулевой оператор, а E{displaystyle E} — единичный оператор. Тогда O∗=O,E∗=E{displaystyle O^{*}=O,E^{*}=E}.


• 
  (A+B)∗=A∗+B∗{displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}.


• 
  ∀α∈C,(αA)∗=α¯A∗{displaystyle forall alpha in mathbb {C} ,(alpha A)^{*}={bar {alpha }}A^{*}}.


• 
  (AB)∗=B∗A∗{displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}.


• 
  (A−1)∗=(A∗)−1{displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}.

Гильбертово пространство |

В гильбертовом пространстве H{displaystyle H} теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора A:H→H{displaystyle Acolon Hto H} равенство (Ax,y)=(x,A∗y){displaystyle (Ax,y)=(x,A^{*}y)} определяет сопряженный оператор A∗:H→H{displaystyle A^{*}colon Hto H}. Здесь (x,y){displaystyle (x,y)} — скалярное произведение в пространстве H{displaystyle H}.

См. также |

• Эрмитов оператор

Примечания |

Литература |

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.


• Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.


• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.


• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).


• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.


• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.


• 
  Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.