Rstykt

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Классификация интегральных уравнений |

Линейные интегральные уравнения |

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

φ(x)=λ∫abK(x,s)φ(s)ds+f(x){displaystyle varphi (x)=lambda int limits _{a}^{b}K(x,;s)varphi (s),ds+f(x)}

где φ(x){displaystyle varphi (x)} — искомая функция, f(x){displaystyle f(x)}, K(x,s){displaystyle K(x,;s)} — известные функции, λ{displaystyle lambda } — параметр. Функция K(x,s){displaystyle K(x,;s)} называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.

Уравнения Фредгольма |

Уравнения Фредгольма 2-го рода |

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

φ(x)=λ∫abK(x,s)φ(s)ds+f(x).{displaystyle varphi (x)=lambda int limits _{a}^{b}K(x,;s)varphi (s),ds+f(x).}

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: a⩽x,s⩽b{displaystyle aleqslant x,;sleqslant b}, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: K(x,s)∈C(a⩽x,s⩽b),f(x)∈C([a,b]){displaystyle K(x,;s)in C(aleqslant x,;sleqslant b),;f(x)in C([a,;b])}, либо удовлетворять условиям:

∫ab∫ab|K(x,s)|2dxds<+∞,∫ab|f(x)|2dx<+∞.{displaystyle int limits _{a}^{b}int limits _{a}^{b}|K(x,;s)|^{2},dx,ds<+infty ,qquad int limits _{a}^{b}|f(x)|^{2},dx<+infty .}

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если f(x)≡0{displaystyle f(x)equiv 0} на [a,b]{displaystyle [a,;b]}, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода |

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

∫abK(x,s)φ(s)ds=f(x),{displaystyle int limits _{a}^{b}K(x,;s)varphi (s),ds=f(x),}

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерры |

Уравнения Вольтерры 2-го рода |

Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

φ(x)=λ∫axK(x,s)φ(s)ds+f(x),a⩽x⩽b.{displaystyle varphi (x)=lambda int limits _{a}^{x}K(x,;s)varphi (s),ds+f(x),qquad aleqslant xleqslant b.}

Уравнения Вольтерры 1-го рода |

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

∫axK(x,s)φ(s)ds=f(x).{displaystyle int limits _{a}^{x}K(x,;s)varphi (s),ds=f(x).}

В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

K(x,s)={K(x,s),a⩽s⩽x,0,x<s⩽b.{displaystyle {mathcal {K}}(x,;s)={begin{cases}K(x,;s),&aleqslant sleqslant x,\0,&x<sleqslant b.end{cases}}}

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения |

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона |

φ(x)=∫abK(x,s,φ(s))ds,K(x,s,φ)∈C(a⩽x,s⩽b;−M⩽φ⩽M).{displaystyle varphi (x)=int limits _{a}^{b}K(x,;s,;varphi (s)),ds,qquad K(x,;s,;varphi )in C(aleqslant x,;sleqslant b;;-Mleqslant varphi leqslant M).}

Постоянная M{displaystyle M} — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна |

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

φ(x)=∫abK(x,s)F(s,φ(s))ds,{displaystyle varphi (x)=int limits _{a}^{b}K(x,;s)F(s,;varphi (s)),ds,}

где K(x,s){displaystyle K(x,;s)} — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна |

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

φ(x)=f(x)+λ∫abK[1](x,s)φ(s)ds+μ∫ab∫abK[1,1](x,s,z)φ(x)φ(z)dsdz+…{displaystyle varphi (x)=f(x)+lambda int limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,;s)varphi (s),ds+mu int limits _{a}^{b}int limits _{a}^{b}K_{[1,;1]}(x,;s,;z)varphi (x)varphi (z),ds,dz+ldots }

Нелинейное уравнение Вольтерры |

φ(x)=∫axF(x,s,φ(s))ds,{displaystyle varphi (x)=int limits _{a}^{x}F(x,;s,;varphi (s)),ds,}

где функция F(x,s,φ){displaystyle F(x,;s,;varphi )} непрерывна по совокупности своих переменных.

Методы решения |

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений, не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа |

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

∫0xf(x−t)g(t)dt≓F(p)G(p),{displaystyle int limits _{0}^{x}f(x-t)g(t),dtrisingdotseq F(p)G(p),}

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

φ(x)=f(x)+∫0xK(x−s)φ(s)ds.{displaystyle varphi (x)=f(x)+int limits _{0}^{x}K(x-s)varphi (s),ds.}

Например, дано такое уравнение:

φ(x)=sin⁡x+2∫0xcos⁡(x−s)φ(s)ds.{displaystyle varphi (x)=sin x+2int limits _{0}^{x}cos(x-s)varphi (s),ds.}

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

φ(x)≓Φ(p),{displaystyle varphi (x)risingdotseq Phi (p),}

Φ(p)=11+p2+2p1+p2Φ(p)⇒Φ(p)=1(p−1)2.{displaystyle Phi (p)={frac {1}{1+p^{2}}}+2{frac {p}{1+p^{2}}}Phi (p)Rightarrow Phi (p)={frac {1}{(p-1)^{2}}}.}

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

φ(x)=resp=11(p−1)2epx=(epx)p′|p=1=xex.{displaystyle varphi (x)={underset {p=1}{mathrm {res} }},{frac {1}{(p-1)^{2}}}e^{px}=(e^{px})'_{p}{Big |}_{p=1}=xe^{x}.}

Метод последовательных приближений |

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

|λ||b−a|maxa⩽x,s⩽b|K(x,s)|<1.{displaystyle |lambda ||b-a|max _{aleqslant x,;sleqslant b}|K(x,;s)|<1.}

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

φ(x)=∑k=0∞λk(Kkf)(x),{displaystyle varphi (x)=sum _{k=0}^{infty }lambda ^{k}(K^{k}f)(x),}

который и является решением уравнения. (Kkf)(x){displaystyle (K^{k}f)(x)} — k{displaystyle k}-ая степень интегрального оператора (Kf)(x){displaystyle (Kf)(x)}:

(Kf)(x)=∫abK(x,s)f(s)ds.{displaystyle (Kf)(x)=int limits _{a}^{b}K(x,;s)f(s),ds.}

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых |λ|{displaystyle |lambda |}.

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях |λ|{displaystyle |lambda |}, а не только при малых.

Метод резольвент |

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

K0(x,t)=K(x,t),K1(t,s)=K(t,s),{displaystyle {begin{aligned}K_{0}(x,;t)=K(x,;t),\K_{1}(t,;s)=K(t,;s),end{aligned}}}

то повторными ядрами ядра K(x,s){displaystyle K(x,;s)} будут ядра Kp(x,s){displaystyle K_{p}(x,;s)}:

Kp(x,s)=∫abK(x,t)Kp−1(t,s)dt.{displaystyle K_{p}(x,;s)=int limits _{a}^{b}K(x,;t)K_{p-1}(t,;s),dt.}

Ряд, составленный из повторных ядер,

R(x,s,λ)=∑k=0∞λkKk+1(x,s),{displaystyle {mathcal {R}}(x,;s,;lambda )=sum _{k=0}^{infty }lambda ^{k}K_{k+1}(x,;s),}

называется резольвентой ядра K(x,s){displaystyle K(x,;s)} и является регулярно сходящимся при a⩽x{displaystyle aleqslant x}, s⩽b{displaystyle sleqslant b} и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

φ(x)=f(x)+λ∫abR(x,s,λ)f(s)ds.{displaystyle varphi (x)=f(x)+lambda int limits _{a}^{b}{mathcal {R}}(x,;s,;lambda )f(s),ds.}

Например, для интегрального уравнения

φ(x)=f(x)+λ∫01xsφ(s)ds{displaystyle varphi (x)=f(x)+lambda int limits _{0}^{1}xsvarphi (s),ds}

повторными будут следующие ядра:

K0(x,s)=xs,{displaystyle K_{0}(x,;s)=xs,}

K1(x,t)=xt,{displaystyle K_{1}(x,;t)=xt,}

K2(x,t)=∫01xsstds=xt3,{displaystyle K_{2}(x,;t)=int limits _{0}^{1}xs,st,ds={frac {xt}{3}},}

K3(x,t)=∫01xsst3ds=xt9,{displaystyle K_{3}(x,;t)=int limits _{0}^{1}xs{frac {st}{3}},ds={frac {xt}{9}},}

…{displaystyle ldots }

Kn+1=xt3n,{displaystyle K_{n+1}={frac {xt}{3^{n}}},}

а резольвентой — функция

R(x,t,λ)=∑n=0∞λnKn+1=∑n=0∞λnxt3n=xt11−λ3=3xt3−λ.{displaystyle {mathcal {R}}(x,;t,;lambda )=sum _{n=0}^{infty }lambda ^{n}K_{n+1}=sum _{n=0}^{infty }lambda ^{n}{frac {xt}{3^{n}}}=xt{frac {1}{1-{dfrac {lambda }{3}}}}={frac {3xt}{3-lambda }}.}

Тогда решение уравнения находится по формуле:

φ(x)=f(x)+λ∫013xt3−λf(t)dt.{displaystyle varphi (x)=f(x)+lambda int limits _{0}^{1}{frac {3xt}{3-lambda }}f(t),dt.}

Метод сведения к алгебраическому уравнению |

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть K(x,s)=∑i=1Nfi(x)gi(s){displaystyle K(x,;s)=sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(s)}, само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

φ(x)=λ∑i=1Nfi(x)∫abgi(s)φ(s)ds+f(x)=λ∑i=1Ncifi(x)+f(x),{displaystyle varphi (x)=lambda sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)int limits _{a}^{b}g_{i}(s)varphi (s),ds+f(x)=lambda sum _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),}

где ci=∫abφ(s)gi(s)ds{displaystyle c_{i}=int limits _{a}^{b}varphi (s)g_{i}(s),ds}. Умножив предыдущее равенство на gi(x){displaystyle g_{i}(x)} и проинтегрировав его по x{displaystyle x} на отрезке [a,b]{displaystyle [a,;b]}, приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел ci{displaystyle c_{i}}:

ci=λ∑k=0Naikck+bi,i=1,…,N,{displaystyle c_{i}=lambda sum _{k=0}^{N}a_{ik}c_{k}+b_{i},qquad i=1,;ldots ,;N,}

где aik=∫abgi(x)fk(x)dx{displaystyle a_{ik}=int limits _{a}^{b}g_{i}(x)f_{k}(x),dx} и bi=∫abgi(x)f(x)dx{displaystyle b_{i}=int limits _{a}^{b}g_{i}(x)f(x),dx} — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции K(x,s){displaystyle K(x,;s)}.^[1]

Замена интеграла конечной суммой |

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: φ(x)−λ∫abK(x,t)φ(t)dt=f(x){displaystyle varphi (x)-lambda int _{a}^{b}K(x,t)varphi (t)dt=f(x)}, где K(x,t){displaystyle K(x,t)} и f(x){displaystyle f(x)} имеют непрерывные производные нужного порядка, λ{displaystyle lambda } - заданное число. Используем квадратурную формулу: ∫abΦ(x)dx≈∑k=1nAkΦ(xk){displaystyle int _{a}^{b}Phi (x)dxapprox sum _{k=1}^{n}A_{k}Phi (x_{k})}, где x1,x2,...xn{displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}} - точки на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]}, а коэффициенты A1,A2,...,An{displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} не зависят от вида функции Φ(x){displaystyle Phi (x)}. Рассмотрим исходное уравнение в точках xk{displaystyle x_{k}}: φ(xk)−λ∫abK(xk,t)φ(t)dt=f(xk){displaystyle varphi (x_{k})-lambda int _{a}^{b}K(x_{k},t)varphi (t)dt=f(x_{k})}. Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: φ(xk)−λ∑m=1nK(xk,xm)φ(xm)=f(xk){displaystyle varphi (x_{k})-lambda sum _{m=1}^{n}K(x_{k},x_{m})varphi (x_{m})=f(x_{k})}. Получаем линейную систему n{displaystyle n} алгебраических уравнений с n{displaystyle n} неизвестными φ(x1),φ(x2),...φ(xn){displaystyle varphi (x_{1}),varphi (x_{2}),...varphi (x_{n})}, которые являются приближёнными значениями решения φ(x){displaystyle varphi (x)} в точках x1,x2,...xn{displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: φ(x)¯=λ∑m=1nAmK(x,xm)φ(xm){displaystyle {overline {varphi (x)}}=lambda sum _{m=1}^{n}A_{m}K(x,x_{m})varphi (x_{m})}^[1].

Приложения |

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье |

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y){displaystyle f(y)} по известной функции g(x){displaystyle g(x)}:

g(x)=12π∫−∞+∞eixyf(y)dy.{displaystyle g(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{+infty }e^{ixy}f(y),dy.}

Фурье получил выражение для функции f(y){displaystyle f(y)}:

f(y)=12π∫−∞+∞e−ixyg(x)dx.{displaystyle f(y)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{+infty }e^{-ixy}g(x),dx.}

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению |

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

dxdt=F(t,x(t)),x(a)=x0.{displaystyle {frac {dx}{dt}}=F(t,;x(t)),qquad x(a)=x_{0}.}

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t{displaystyle t} от a{displaystyle a} до t{displaystyle t}:

x(t)=x0+∫atF(s,x(s))ds.{displaystyle x(t)=x_{0}+int limits _{a}^{t}F(s,;x(s)),ds.}

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

x″(t)+[λ2−ν(t)]x(t)=0(λ=const),x(a)=1,x′(a)=0.{displaystyle x''(t)+[lambda ^{2}-nu (t)]x(t)=0qquad (lambda =mathrm {const} ),;x(a)=1,;x'(a)=0.}

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

x″(t)+λ2x(t)=g(t){displaystyle x''(t)+lambda ^{2}x(t)=g(t)}

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

x(t)=cos⁡λ(t−a)+1λ∫atg(τ)sin⁡λ(t−τ)dτ.{displaystyle x(t)=cos lambda (t-a)+{frac {1}{lambda }}int limits _{a}^{t}g(tau )sin lambda (t-tau ),dtau .}

Тогда для исходного уравнения получается:

x(t)=cos⁡λ(t−a)+1λ∫atν(τ)sin⁡λ(t−τ)x(τ)dτ{displaystyle x(t)=cos lambda (t-a)+{frac {1}{lambda }}int limits _{a}^{t}nu (tau )sin lambda (t-tau )x(tau ),dtau }

— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение n{displaystyle n}-го порядка

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+…+an(t)x(t)=F(t),t>a,{displaystyle {frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+ldots +a_{n}(t)x(t)=F(t),qquad t>a,}

x(a)=C0,x′(a)=C1,…,x(n−1)(a)=Cn−1{displaystyle x(a)=C_{0},;x'(a)=C_{1},;ldots ,;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}}

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Задача Абеля |

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

f(x)=∫0xφ(η)x−ηdη,{displaystyle f(x)=int limits _{0}^{x}{frac {varphi (eta )}{sqrt {x-eta }}},deta ,}

где f(x){displaystyle f(x)} — заданная функция, а φ(x){displaystyle varphi (x)} — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний^[2]

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (ξ,η){displaystyle (xi ,;eta )} по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x{displaystyle x}, достигла оси Oξ{displaystyle Oxi } за время t=f1(x){displaystyle t=f_{1}(x)}, где f1(x){displaystyle f_{1}(x)} — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ{displaystyle Oxi } как β{displaystyle beta } и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

∫0xφ(η)x−ηdη=−2gf1(x),φ(β)=1sin⁡β.{displaystyle int limits _{0}^{x}{frac {varphi (eta )}{sqrt {x-eta }}},deta =-{sqrt {2g}}f_{1}(x),qquad varphi (beta )={frac {1}{sin beta }}.}

См. также |

• Интегральное преобразование Абеля


• Теория Фредгольма


• Функция Грина

Примечания |

Литература |

• М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.


• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.


• И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными, 3-е изд.. — 1961.


• Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд, стереот.. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с. — ISBN 5-9221-0275-3.


• Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.