Rstykt

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой |

Пусть γ(t){displaystyle gamma (t)} — регулярная кривая в d{displaystyle d}-мерном евклидовом пространстве, параметризованная её длиной t{displaystyle t}.
Тогда

κ=|γ¨(t)|{displaystyle kappa =|{ddot {gamma }}(t)|}

называется кривизной кривой γ{displaystyle gamma } в точке p=γ(t){displaystyle p=gamma (t)}, здесь γ¨(t){displaystyle {ddot {gamma }}(t)} обозначает вторую производную по t{displaystyle t}.
Вектор

k=γ¨(t){displaystyle k={ddot {gamma }}(t)}

называется вектором кривизны γ{displaystyle gamma } в точке p=γ(t){displaystyle p=gamma (t)}.

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной τ(t)=γ˙(t){displaystyle tau (t)={dot {gamma }}(t)}:

k=τ˙(t),{displaystyle k={dot {tau }}(t),}

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

κ=|γ′×γ″||γ′|3{displaystyle kappa ={frac {|gamma 'times gamma ''|}{|gamma '|^{3}}}},

где γ′{displaystyle gamma '} и γ″{displaystyle gamma ''} соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ{displaystyle gamma } в требуемой точке по параметру
(при этом под ×{displaystyle times } для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Соприкасающаяся окружность

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением y=y(x){displaystyle y=y(x)}, кривизна вычисляется по формуле:

κ(x)=|y″|(1+y′2)3.{displaystyle kappa (x)={frac {|y''|}{({sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}}.}

Для того, чтобы кривая γ{displaystyle gamma } совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (r=1/κ{displaystyle r=1/kappa }), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Ориентированная кривизна плоской кривой |

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной. Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной.
Ориентированная кривизна выражается формулой

κ=γ′×γ″|γ′|3=x′y″−x″y′(x′2+y′2)3/2.{displaystyle kappa ={frac {gamma 'times gamma ''}{|gamma '|^{3}}}={frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.}

Знак кривизны зависит от выбора параметризации и не имеет геометрического смысла. Геометрический смысл имеет изменение знака кривизны при переходе через некоторую точку (так называемая точка перегиба) или сохранение знака на некотором участке (характер выпуклости кривой).

Кривизна поверхности |

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Пусть Φ{displaystyle Phi } есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p{displaystyle p} — точка Φ,{displaystyle Phi ,} Tp{displaystyle T_{p}} — касательная плоскость к Φ{displaystyle Phi } в точке p,{displaystyle p,} n{displaystyle n} — единичная нормаль к Φ{displaystyle Phi } в точке p,{displaystyle p,} а πe{displaystyle pi _{e}} — плоскость, проходящая через n{displaystyle n} и некоторый единичный вектор e{displaystyle e} в Tp.{displaystyle T_{p}.} Кривая γe,{displaystyle gamma _{e},} получающаяся как пересечение плоскости πe{displaystyle pi _{e}} с поверхностью Φ,{displaystyle Phi ,} называется нормальным сечением поверхности Φ{displaystyle Phi } в точке p{displaystyle p} в направлении e.{displaystyle e.}
Величина

κe=k⋅n{displaystyle kappa _{e}=kcdot n}

где ⋅{displaystyle cdot } обозначает скалярное произведение, а k{displaystyle k} — вектор кривизны γe{displaystyle gamma _{e}} в точке p{displaystyle p}, называется нормальной кривизной поверхности Φ{displaystyle Phi } в направлении e{displaystyle e}.
С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γe{displaystyle gamma _{e}}.

В касательной плоскости Tp{displaystyle T_{p}} существуют два перпендикулярных направления e1{displaystyle e_{1}} и e2{displaystyle e_{2}} такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κe=κ1cos2⁡α+κ2sin2⁡α{displaystyle kappa _{e}=kappa _{1}cos ^{2}alpha +kappa _{2}sin ^{2}alpha }

где α{displaystyle alpha } — угол между этим направлением и e1{displaystyle e_{1}}, a величины κ1{displaystyle kappa _{1}} и κ2{displaystyle kappa _{2}} нормальные кривизны в направлениях e1{displaystyle e_{1}} и e2{displaystyle e_{2}}, они называются главными кривизнами, а направления e1{displaystyle e_{1}} и e2{displaystyle e_{2}} — главными направлениями поверхности в точке p{displaystyle p}.
Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн.
Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H=κ1+κ2{displaystyle H=kappa _{1}+kappa _{2}}, (иногда κ1+κ22{displaystyle {frac {kappa _{1}+kappa _{2}}{2}}})

называется средней кривизной поверхности.
Величина

K=κ1κ2{displaystyle K=kappa _{1}kappa _{2}}

называется гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также |

• Аффинная кривизна


• Дифференциальная геометрия кривых


• Дифференциальная геометрия поверхностей


• Кривизна римановых многообразий


• Поверхность


• Тензор кривизны


• Форма кривизны

Литература |

• Виленкин Н. О кривизне // Квант. — 1992. — № 4.

• 
  Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.


• 
  Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.