Rstykt

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что морфизм.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

В отличие от действия функции, при котором из одного числа по определенным правилам получается другое число (несколько чисел), при действии оператора из одной функции по определенным правилам получается другая функция (семейство функций).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

• 
  Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).


• 
  Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).


• 
  Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология |

Пусть оператор A{displaystyle A} действует из множества X{displaystyle X} в множество Y{displaystyle Y}.

• Оператор может быть не всюду определен на X{displaystyle X}; тогда говорят о его области определения DA=D(A)⊂X{displaystyle D_{A}=D(A)subset X}.


• Для x∈X{displaystyle xin X} результат применения оператора A{displaystyle A} к x{displaystyle x} обозначают A(x){displaystyle A(x)} или Ax{displaystyle Ax}.


• Если X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} — векторные пространства, то в множестве всех операторов из X{displaystyle X} в Y{displaystyle Y} можно выделить класс линейных операторов.


• Если X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} — векторные топологические пространства, то в множестве операторов из X{displaystyle X} в Y{displaystyle Y} естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (называемые также вполне непрерывными).

Простые примеры |

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t){displaystyle x(t)} согласно правилу A{displaystyle A} в другую функцию y(t){displaystyle y(t)} имеет вид y(t)=A{x(t)}{displaystyle y(t)=A{x(t)}} или, проще, y=Ax{displaystyle y=Ax}.

Примеры подобных преобразований — умножение на число: y(t)=cx(t){displaystyle y(t)=cx(t)} и дифференцирование: y(t)=dx(t)dt{displaystyle scriptstyle y(t)={frac {dx(t)}{dt}}}. Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

F(ω)=12π∫−∞∞f(t)e−itωdt=F{f(t)}.{displaystyle F(omega )={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }f(t)e^{-itomega },dt={mathcal {F}}{f(t)}.}

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y{displaystyle y}, вообще говоря, в каждой точке t{displaystyle t} зависит не только от x(t){displaystyle x(t)}, а от значений функции x{displaystyle x} во всех точках t{displaystyle t}. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке ω{displaystyle omega } меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки t{displaystyle t}.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения n{displaystyle n}-мерного вектора на матрицу размером n×m{displaystyle ntimes m}. Этот оператор отображает n{displaystyle n}-мерное пространство векторов в m{displaystyle m}-мерное.

Линейные операторы |

Оператор L{displaystyle L} (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1. может применяться почленно к сумме аргументов:
   

   
   L(x1+x2)=L(x1)+L(x2){displaystyle L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})};

   
   


2. скаляр (постоянную величину) c{displaystyle c} можно выносить за знак оператора:
   

   
   L(cx)=cL(x){displaystyle L(cx)=cL(x)};

   
   

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0)=0{displaystyle L(0)=0}.

Оператор L{displaystyle L} называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L{x}=L0{x}+φ{displaystyle L{x}=L_{0}{x}+varphi },

где L0{displaystyle L_{0}} — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций yk{displaystyle y_{k}} являются линейными функциями от старых значений xk{displaystyle x_{k}}:

yk=∑l=1nTklxl{displaystyle y_{k}=sum _{l=1}^{n}T_{kl},x_{l}}.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t,ω){displaystyle K(t,;omega )}, и называется ядром линейного интегрального преобразования:

φ(t)=∫VK(t,ω)f(ω)dω=K{f(ω)}.{displaystyle varphi (t)=int limits _{V}!K(t,omega )f(omega ),domega =K{f(omega )}.}

Функция-операнд f(ω){displaystyle f(omega )} в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω){displaystyle f(omega )} заменяется вектором W{displaystyle W}. В этом случае φ(t){displaystyle varphi (t)} представимо конечным или бесконечным рядом функций:

φ(t)=∑i=1nTi(t)wi.{displaystyle varphi (t)=sum _{i=1}^{n}T_{i}(t)w_{i}.}

Нулевой оператор |

Оператор O{displaystyle O}, ставящий в соответствие каждому вектору a{displaystyle mathbf {a} } нулевой вектор 0{displaystyle mathbf {0} }, очевидно, линейный; он называется нулевым оператором^[1].

Единичный (тождественный) оператор |

Оператор E{displaystyle E}, ставящий в соответствие каждому вектору a{displaystyle mathbf {a} } сам вектор a{displaystyle mathbf {a} }, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

Ea=a,{displaystyle Emathbf {a} =mathbf {a} ,}

то есть как матричный оператор определяется равенством

∑kEikak=ai{displaystyle sum _{k}E_{ik},a_{k}=a_{i}}

и как интегральный оператор — равенством

∫αβE(x,t)a(t)dt=a(x){displaystyle int limits _{alpha }^{beta }!E(x,t)a(t),dt=a(x)}.

Единичная матрица Eik{displaystyle E_{ik}} записывается большей частью с помощью символа δik=δki{displaystyle delta _{ik}=delta _{ki}} (символ Кронекера). Имеем: δik=1{displaystyle delta _{ik}=1} при i=k{displaystyle i=k} и δik=0{displaystyle delta _{ik}=0} при i≠k{displaystyle ineq k}.

Единичное ядро E(x,t){displaystyle E(x,t)} записывается в виде E(x,t)=δ(t−x){displaystyle E(x,t)=delta (t-x)} (дельта-функция). δ(x−t)=0{displaystyle delta (x-t)=0} всюду, кроме x=t{displaystyle x=t}, где функция становится бесконечной и притом такой, что

∫αβδ(x−t)dt=1{displaystyle int limits _{alpha }^{beta }!delta (x-t),dt=1}.

Запись |

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

• 
  префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:

Q(x1,x2,…,xn);{displaystyle Q(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n});}

• 
  постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:

(x1,x2,…,xn)Q;{displaystyle (x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n});Q;}

• 
  инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:

x1Qx2;{displaystyle x_{1};Q;x_{2};}

• 
  позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;


• 
  подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q{displaystyle Q} над функцией f{displaystyle f} обычно для краткости записывается Qf{displaystyle Qf} вместо Q(f){displaystyle Q(f)}; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg){displaystyle Q(fg)}. Q{displaystyle Q}, действующий на f(x){displaystyle f(x)}, также записывают (Qf)(x){displaystyle (Qf)(x)}. Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные n!{displaystyle n!} (факториал «!», справа от операнда), −n{displaystyle -n} (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции F{f(t)}{displaystyle {mathcal {F}}{f(t)}}. Возведение в степень nx{displaystyle n^{x}} можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора |

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть x=(x1,…,xn){displaystyle x=(x_{1},ldots ,x_{n})} и имеются мультииндексы α=(α1,…,αn){displaystyle alpha =(alpha _{1},ldots ,alpha _{n})} и β=(β1,…,βn){displaystyle beta =(beta _{1},ldots ,beta _{n})}. Тогда положим

Dαxβ=∂|α|∂x1α1⋯∂xnαnx1β1⋯xnβn=∂α1∂x1α1x1β1⋯∂αn∂xnαnxnβn.{displaystyle {begin{aligned}D^{alpha }x^{beta }&={frac {partial ^{vert alpha vert }}{partial x_{1}^{alpha _{1}}cdots partial x_{n}^{alpha _{n}}}}x_{1}^{beta _{1}}cdots x_{n}^{beta _{n}}\&={frac {partial ^{alpha _{1}}}{partial x_{1}^{alpha _{1}}}}x_{1}^{beta _{1}}cdots {frac {partial ^{alpha _{n}}}{partial x_{n}^{alpha _{n}}}}x_{n}^{beta _{n}}.end{aligned}}}

Пусть P{displaystyle P} — линейный дифференциальный оператор порядка k{displaystyle k} на евклидовом пространстве Rd{displaystyle mathbb {R} ^{d}}. Тогда P{displaystyle P} является полиномом от производной D{displaystyle D}, в мультииндексной записи это будет записываться так

P=p(x,D)=∑|α|≤kaα(x)Dα.{displaystyle P=p(x,D)=sum _{|alpha |leq k}a_{alpha }(x)D^{alpha }.}

Полином p{displaystyle p}, по определению, является полным символом P{displaystyle P}:

σP(ξ)=p(x,ξ)=∑|α|≤kaαξα.{displaystyle sigma P(xi )=p(x,xi )=sum _{|alpha |leq k}a_{alpha }xi ^{alpha }.}

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σP{displaystyle sigma _{P}}:

σP(ξ)=∑|α|=kaαξα{displaystyle sigma _{P}(xi )=sum _{|alpha |=k}a_{alpha }xi ^{alpha }}

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также |

• Список операторов (математика)

Примечания |

Источники |

• 
  Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390


• 
  Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34


• (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.