Rstykt

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

f(s)+λ∫abK(s,t)φ(t)dt=φ(s).(∗){displaystyle f(s)+lambda int limits _{a}^{b}K(s,;t)varphi (t),dt=varphi (s).qquad (*)}

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция Γ(s,t,λ){displaystyle Gamma (s,;t,;lambda )} переменных s{displaystyle s}, t{displaystyle t} и параметра λ{displaystyle lambda }, что решение уравнения (*) представляется в виде:

u∗(s)=f(s)+λ∫abΓ(s,t,λ)f(t)dt.{displaystyle u^{*}(s)=f(s)+lambda int limits _{a}^{b}Gamma (s,;t,;lambda )f(t),dt.}

При этом λ{displaystyle lambda } не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример |

Пусть уравнение (*) имеет ядро K(s,t)=s+t{displaystyle K(s,;t)=s+t}, то есть само уравнение имеет вид:

φ(s)+λ∫ab(s+t)φ(t)dt=f(s).{displaystyle varphi (s)+lambda int limits _{a}^{b}(s+t)varphi (t),dt=f(s).}

Тогда его резольвентой является функция

Γ(s,t,λ)=s+t−λ(s+t2−st−13)1−λ−λ212.{displaystyle Gamma (s,;t,;lambda )={frac {s+t-lambda left({dfrac {s+t}{2}}-st-{dfrac {1}{3}}right)}{1-lambda -{dfrac {lambda ^{2}}{12}}}}.}

Резольвента линейного оператора |

Пусть A{displaystyle A} — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция^[1]

R(z)=(A−zE)−1{displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}},

где E{displaystyle E} — тождественный оператор, а z{displaystyle z} — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что R(z){displaystyle R(z)} есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Примечания |

См. также |

• Спектр оператора

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.