Rstykt

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение |

Преобразования

Qi=Qi(q1,…,qs,p1,…,ps,t),{displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q_{1},ldots ,q_{s},p_{1},ldots ,p_{s},t),}

Pi=Pi(q1,…,qs,p1,…,ps,t),{displaystyle P_{i}=P_{i}(q_{1},ldots ,q_{s},p_{1},ldots ,p_{s},t),}

j=1,…,s,{displaystyle j=1,ldots ,s,}, где s{displaystyle s} — число степеней свободы,

∂(Q1,…,Qs;P1,…,Ps)∂(q1,…,qs;q1,…,qs)≠0,{displaystyle {frac {partial (Q_{1},ldots ,Q_{s};P_{1},ldots ,P_{s})}{partial (q_{1},ldots ,q_{s};q_{1},ldots ,q_{s})}}neq 0,}

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона H{displaystyle H}:

p˙i=−∂H∂qi,{displaystyle {dot {p}}_{i}=-{frac {partial H}{partial q_{i}}},}

q˙i=  ∂H∂pi,{displaystyle {dot {q}}_{i}=~~{frac {partial H}{partial p_{i}}},}

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона H{displaystyle {mathcal {H}}}:

P˙i=−∂H∂Qi,{displaystyle {dot {P}}_{i}=-{frac {partial {mathcal {H}}}{partial Q_{i}}},}

Q˙i=  ∂H∂Pi.{displaystyle {dot {Q}}_{i}=~~{frac {partial {mathcal {H}}}{partial P_{i}}}.}

Переменные Qi{displaystyle Q_{i}} и Pi{displaystyle P_{i}} называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а qi{displaystyle q_{i}} и pi{displaystyle p_{i}} — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции |

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

∑i=1sPidQi−Hdt−c(∑i=1spidqi−Hdt)=−dF,{displaystyle sum limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{mathcal {H}}dt-cleft(sum limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdtright)=-dF,}

где постоянную c≠0{displaystyle cneq 0} называют валентностью канонического преобразования, dF{displaystyle dF} — полный дифференциал некоторой функции F(q1,…,qs,p1,…,ps,t){displaystyle F(q_{1},ldots ,q_{s},p_{1},ldots ,p_{s},t)} (предполагается, что Pi{displaystyle P_{i}} и Qi{displaystyle Q_{i}} также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых c=1{displaystyle c=1} называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные c{displaystyle c} изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных pi,qi,Qi,Pi{displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}}, причём выбор независим для каждого i=1,⋯,s{displaystyle i=1,cdots ,s}. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого i{displaystyle i} одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции F{displaystyle F} имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты F=F(q,p(q,Q,t),t)=F1(q,Q,t){displaystyle F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)}. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции F{displaystyle F}. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех i{displaystyle i} возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

F1(q,Q,t),F2(q,P,t),F3(p,Q,t),F4(p,P,t),{displaystyle F_{1}(q,Q,t),;F_{2}(q,P,t),;F_{3}(p,Q,t),;F_{4}(p,P,t),}

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов q=(q1,⋯,q2){displaystyle q=(q_{1},cdots ,q_{2})} p=(p1,⋯,p2){displaystyle p=(p_{1},cdots ,p_{2})}, , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа |

Пусть F1(q,Q,t){displaystyle F_{1}(q,Q,t)} — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

det(∂2F1∂q∂Q)≠0,{displaystyle det left({frac {partial ^{2}F_{1}}{partial q,partial Q}}right)neq 0,}

кроме того, задано некоторое число c≠0{displaystyle cneq 0}, тогда пара (F1,c){displaystyle (F_{1},c)} задаёт каноническое преобразование по правилу

p=1c∂F1∂q,{displaystyle p={frac {1}{c}}{frac {partial F_{1}}{partial q}},}

P=−∂F1∂Q,{displaystyle P=-{frac {partial F_{1}}{partial Q}},}

H=cH+∂F1∂t.{displaystyle {mathcal {H}}=cH+{frac {partial F_{1}}{partial t}}.}

Связь с исходной производящей функцией:

F1(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).{displaystyle F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).}

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

det(∂Q∂p)≠0.{displaystyle det left({frac {partial Q}{partial p}}right)neq 0.}

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа |

Пусть F2(q,P,t){displaystyle F_{2}(q,P,t)} — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

det(∂2F2∂q∂P)≠0.{displaystyle det left({frac {partial ^{2}F_{2}}{partial q,partial P}}right)neq 0.}

кроме того, задано некоторое число c≠0{displaystyle cneq 0}, тогда пара (F2,c){displaystyle (F_{2},c)} задаёт каноническое преобразование по правилу

p=1c∂F2∂q,{displaystyle p={frac {1}{c}}{frac {partial F_{2}}{partial q}},}

Q=∂F2∂P,{displaystyle Q={frac {partial F_{2}}{partial P}},}

H=cH+∂F2∂t.{displaystyle {mathcal {H}}=cH+{frac {partial F_{2}}{partial t}}.}

Связь с исходной производящей функцией:

F2(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).{displaystyle F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).}

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

det(∂P∂p)≠0.{displaystyle det left({frac {partial P}{partial p}}right)neq 0.}

Производящая функция 3-го типа |

Пусть F3(p,Q,t){displaystyle F_{3}(p,Q,t)} — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

det(∂2F3∂p∂Q)≠0.{displaystyle det left({frac {partial ^{2}F_{3}}{partial p,partial Q}}right)neq 0.}

кроме того, задано некоторое число c≠0{displaystyle cneq 0}, тогда пара (F3,c){displaystyle (F_{3},c)} задаёт каноническое преобразование по правилу

q=−1c∂F3∂p,{displaystyle q=-{frac {1}{c}}{frac {partial F_{3}}{partial p}},}

P=−∂F3∂Q,{displaystyle P=-{frac {partial F_{3}}{partial Q}},}

H=cH+∂F3∂t.{displaystyle {mathcal {H}}=cH+{frac {partial F_{3}}{partial t}}.}

Связь с исходной производящей функцией:

F3(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)−cpq(p,Q,t).{displaystyle F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).}

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

det(∂Q∂q)≠0.{displaystyle det left({frac {partial Q}{partial q}}right)neq 0.}

Производящая функция 4-го типа |

Пусть F4(p,P,t){displaystyle F_{4}(p,P,t)} — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

det(∂2F4∂p∂P)≠0.{displaystyle det left({frac {partial ^{2}F_{4}}{partial p,partial P}}right)neq 0.}

кроме того, задано некоторое число c≠0{displaystyle cneq 0}, тогда пара (F4,c){displaystyle (F_{4},c)} задаёт каноническое преобразование по правилу

q=−1c∂F4∂p,{displaystyle q=-{frac {1}{c}}{frac {partial F_{4}}{partial p}},}

Q=∂F4∂P,{displaystyle Q={frac {partial F_{4}}{partial P}},}

H=cH+∂F4∂t.{displaystyle {mathcal {H}}=cH+{frac {partial F_{4}}{partial t}}.}

Связь с исходной производящей функцией:

F4(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)−cpq(p,P,t).{displaystyle F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).}

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

det(∂P∂q)≠0.{displaystyle det left({frac {partial P}{partial q}}right)neq 0.}

Примеры |

1. Тождественное преобразование

Q=q,{displaystyle Q=q,}

P=p,{displaystyle P=p,}

H=H{displaystyle {mathcal {H}}=H}

может быть получено при:

F2=qP,c=1.{displaystyle F_{2}=qP,quad c=1.}

2. Если задать

F1=−αqP,c=−αβ,{displaystyle F_{1}=-alpha qP,quad c=-alpha beta ,}

то полученное преобразование будет иметь вид:

Q=αp,{displaystyle Q=alpha p,}

P=βq.{displaystyle P=beta q.}

H=−αβH{displaystyle {mathcal {H}}=-alpha beta H}

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

Q=−q,{displaystyle Q=-q,}

P=−p,{displaystyle P=-p,}

H=H{displaystyle {mathcal {H}}=H}

может быть получено при:

F2=−qP,c=1.{displaystyle F_{2}=-qP,quad c=1.}

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

F2=φ(q,t)P,c=1,{displaystyle F_{2}=varphi (q,t)P,quad c=1,}

тогда

Q=φ(q,t).{displaystyle Q=varphi (q,t).}

В частности, если

F2=(Aq,P),c=1,{displaystyle F_{2}=(Aq,P),quad c=1,}

где A,{displaystyle A,} — ортогональная матрица:

ATA=E,{displaystyle A^{T}A=E,}

то

Q=Aq,{displaystyle Q=Aq,}

P=ATp.{displaystyle P=A^{T}p.}

К точечным преобразования приводит и функция:

F3=ϕ(Q,t)p,c=1,{displaystyle F_{3}=phi (Q,t)p,quad c=1,}

тогда

q=−ϕ(Q,t).{displaystyle q=-phi (Q,t).}

В частности функция

F3=−pxρcos⁡φ−pyρsin⁡ϕ−pzz,c=1,{displaystyle F_{3}=-p_{x}rho cos varphi -p_{y}rho sin phi -p_{z}z,quad c=1,}

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных (p,q){displaystyle (p,q)} системы с одной степенью свободы:

Q=αq+βp{displaystyle Q=alpha q+beta p}

P=γq+δp{displaystyle P=gamma q+delta p}

является унивалентным каноническим преобразованием при

αδ−βγ=1,{displaystyle alpha delta -beta gamma =1,}

производящая функция:

F=−βγpq−12αγq2−12βδp2.{displaystyle F=-beta gamma pq-{frac {1}{2}}alpha gamma q^{2}-{frac {1}{2}}beta delta p^{2}.}

Такие преобразования образуют специальную линейную группу SL(2,R){displaystyle SL(2,mathbb {R} )}.

Действие как производящая функция |

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

S=∫pdq−Hdt{displaystyle {mathcal {S}}=int pdq-Hdt}

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа |

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

{Pi(q,p,t),Pk(q,p,t)}=0,{displaystyle lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)rbrace =0,}

{Qi(q,p,t),Qk(q,p,t)}=0,{displaystyle lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)rbrace =0,}

{Qi(q,p,t),Pk(q,p,t)}=cδik.{displaystyle lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)rbrace =cdelta _{ik}.}

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций f(Q,P,t){displaystyle f(Q,P,t)} и g(Q,P,t){displaystyle g(Q,P,t)} условия:

{f,g}pq=c{f,g}PQ,{displaystyle lbrace f,grbrace _{pq}=clbrace f,grbrace _{PQ},}

где под {⋅,⋅}pq{displaystyle lbrace cdot ,cdot rbrace _{pq}} и {⋅,⋅}PQ{displaystyle lbrace cdot ,cdot rbrace _{PQ}} понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

{f,g}pq={f,g}PQ{displaystyle lbrace f,grbrace _{pq}=lbrace f,grbrace _{PQ}}

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

[pi,pk]=0,{displaystyle [p_{i},p_{k}]=0,}

[qi,qk]=0,{displaystyle [q_{i},q_{k}]=0,}

[qi,pk]=cδik.{displaystyle [q_{i},p_{k}]=cdelta _{ik}.}

Литература |

• 
  Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  


• 
  Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  


• 
  Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..


• 
  Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — Спб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..