Rstykt

Коммутатором операторов A^{displaystyle {hat {A}}} и B^{displaystyle {hat {B}}} в алгебре, а также квантовой механике называется оператор [A^,B^]=A^B^−B^A^{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}]={hat {A}}{hat {B}}-{hat {B}}{hat {A}}}. В общем случае он не равен нулю.
Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором |

• 
  Антикоммутативность: [A,B]=−[B,A].{displaystyle [A,B]=-[B,A].} Из этого тождества следует что [A,A]=0{displaystyle [A,A]=0} для любого оператора A{displaystyle A}.

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• 
  [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]{displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора DA=[A,⋅].{displaystyle D_{A}=[A,cdot ].} По этой причине оператор DA{displaystyle D_{A}} называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор D~A=[⋅,A].{displaystyle {tilde {D}}_{A}=[cdot ,A].}
  


• 
  Тождество Якоби: [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.{displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.} Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.


• 
  [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0{displaystyle [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0} Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.


• [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B{displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}


• [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC{displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}


• [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B{displaystyle [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}


• [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]{displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}


• [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]{displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}


• [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD{displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}


• [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]{displaystyle [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]}


• 
  eABe−A=B+[A,B]+12![A,[A,B]]+13![A,[A,[A,B]]]+⋯≡ead⁡(A)B.{displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+cdots equiv e^{operatorname {ad} (A)}B.} Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.


• ln⁡(eAeBe−Ae−B)=[A,B]+12![(A+B),[A,B]]+13!([A,[B,[B,A]]]/2+[(A+B),[(A+B),[A,B]]])+⋯.{displaystyle ln left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}right)=[A,B]+{frac {1}{2!}}[(A+B),[A,B]]+{frac {1}{3!}}left([A,[B,[B,A]]]/2+[(A+B),[(A+B),[A,B]]]right)+cdots .}

Коммутатор в квантовой механике |

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора F^{displaystyle {hat {F}}} физической величины f{displaystyle f} на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам F^{displaystyle {hat {F}}}, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

F^ψi=fψi{displaystyle {hat {F}}psi _{i}=fpsi _{i}}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

F^G^ψi=gF^ψi=gfψi=G^F^ψi{displaystyle {hat {F}}{hat {G}}psi _{i}=g{hat {F}}psi _{i}=gfpsi _{i}={hat {G}}{hat {F}}psi _{i}}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) p^x=−iℏ∂∂x{displaystyle {hat {p}}_{x}=-ihbar {frac {partial }{partial x}}} и соответствующей координаты x^=x{displaystyle {hat {x}}=x} (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения |

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

ıℏ∂ψ∂t=H^ψ{displaystyle imath hbar {frac {partial psi }{partial t}}={hat {H}}psi }

и определения полной производной оператора по времени

f^˙=f˙^{displaystyle {dot {hat {f}}}={hat {dot {f}}}}

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

f^˙=ıℏ[H^,f^]+∂f^∂t{displaystyle {dot {hat {f}}}={imath over hbar }[{hat {H}},{hat {f}}]+{frac {partial {hat {f}}}{partial t}}}

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

f˙={H,f}+∂f∂t{displaystyle {dot {f}}={mathcal {{}}H,f{mathcal {}}}+{frac {partial f}{partial t}}}

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации |

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

r^i,p^i,L^i{displaystyle {hat {r}}_{i},{hat {p}}_{i},{hat {L}}_{i}} — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; δij{displaystyle delta _{ij}} — дельта Кронекера; eijk{displaystyle e_{ijk}} — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

[r^i,p^j]=ıℏδij{displaystyle [{hat {r}}_{i},{hat {p}}_{j}]=imath hbar delta _{ij}}

[p^,f(r→)]=−ıℏ∇f{displaystyle [{hat {p}},f({vec {r}})]=-imath hbar nabla f}

[L^i,r^j]=ıℏeijkr^k{displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {r}}_{j}]=imath hbar e_{ijk}{hat {r}}_{k}}

[L^i,p^j]=ıℏeijkp^k{displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {p}}_{j}]=imath hbar e_{ijk}{hat {p}}_{k}}

[L^i,L^j]=ıℏeijkL^k{displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {L}}_{j}]=imath hbar e_{ijk}{hat {L}}_{k}}

[L^2,L^i]=0{displaystyle [{hat {L}}^{2},{hat {L}}_{i}]=0}

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента:  L^j=ℏl^j{displaystyle {hat {L}}_{j}=hbar {hat {l}}_{j}}

[l^i,r^j]=ıeijkr^k{displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {r}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {r}}_{k}}

[l^i,p^j]=ıeijkp^k{displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {p}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {p}}_{k}}

[l^i,l^j]=ıeijkl^k{displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {l}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {l}}_{k}}

[l^2,l^i]=0{displaystyle [{hat {l}}^{2},{hat {l}}_{i}]=0}

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин |

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике.
Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли,
поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины |

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых [A,B]=AB−BA≠0{displaystyle [A,B]=AB-BAneq 0}.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют^[1].

Антикоммутатор |

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

[x,y]+:=xy+yx{displaystyle [x,y]_{+}:=xy+yx}

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры |

• Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.


• При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.

Литература |

• 
  Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.


• 
  Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720c.


• 
  Дирак П. Принципы квантовой механики. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979. — 480 с.


• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

См. также |

• Теория операторов


• Поле Киллинга

Примечания |