Rstykt

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении |

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, n=0,…,7{displaystyle n=0,dots ,7}. По горизонтали отложена координата q{displaystyle q}, по вертикали — значение волновой функции ψn(q){displaystyle psi _{n}(q)}. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

H^=p^22m+mω2q^22{displaystyle !{hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {momega ^{2}{hat {q}}^{2}}{2}}}

В координатном представлении p^=−iℏ∂/∂x{displaystyle {hat {p}}=-ihbar partial /partial x} , q^=x{displaystyle {hat {q}}=x}. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

−ℏ22m∂2∂x2ψ(x)+mω2x22ψ(x)=Eψ(x){displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi (x)+{frac {momega ^{2}x^{2}}{2}}psi (x)=Epsi (x)}

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для

En=ℏω(n+12) , n=0,1,2,…{displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}right) , n=0,1,2,ldots }

решение имеет вид:

ψn(x)=12nn!⋅(mωπℏ)1/4⋅exp⁡(−mωx22ℏ)⋅Hn(mωℏx),{displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {2^{n}n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}cdot exp left(-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}right)cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),}

функции Hn{displaystyle !H_{n}} — полиномы Эрмита:

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2{displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ℏω{displaystyle hbar omega }, во-вторых наименьшее значение энергии равно ℏω/2{displaystyle hbar omega /2}. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения |

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

Оператор уничтожения:

Их коммутатор равен:

[a^,a^+]=a^a^+−a^+a^=iℏ(p^q^−q^p^)=1{displaystyle ![{hat {a}},{hat {a}}^{+}]={hat {a}}{hat {a}}^{+}-{hat {a}}^{+}{hat {a}}={frac {i}{hbar }}({hat {p}}{hat {q}}-{hat {q}}{hat {p}})=1}

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

H^=ℏω(a^+a^+12)=ℏω(n^+12){displaystyle {hat {H}}=hbar omega left({hat {a}}^{+}{hat {a}}+{frac {1}{2}}right)=hbar omega left({hat {n}}+{frac {1}{2}}right)},

где n^=a^+a^{displaystyle !{hat {n}}={hat {a}}^{+}{hat {a}}} — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осциллятор |

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

H^=p^22m+12mω2q^2+λq^3{displaystyle {hat {H}}={{hat {p}}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}{hat {q}}^{2}+lambda {hat {q}}^{3}}

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

λ(ℏ2mω)32(a^+a^+)3.{displaystyle lambda left({hbar over 2momega }right)^{3 over 2}({hat {a}}+{hat {a}}^{+})^{3}.}

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния |ψE⟩{displaystyle left|psi _{E}rightrangle } равна

ΔE(2)=λ2⟨ψE|q31E−ℏω/2q3|ψE⟩.{displaystyle Delta E^{(2)}=lambda ^{2}leftlangle psi _{E}right|q^{3}{1 over E-hbar omega /2}q^{3}left|psi _{E}rightrangle .}

Многочастичный квантовый осциллятор |

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

H^=∑i=1Np^i22m+12mω2∑{ij}(nn)(q^i−q^j)2{displaystyle {hat {H}}=sum _{i=1}^{N}{{hat {p}}_{i}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}sum _{{ij}(nn)}({hat {q}}_{i}-{hat {q}}_{j})^{2}}

Здесь под q^i{displaystyle !{hat {q}}_{i}} и p^i{displaystyle !{hat {p}}_{i}} подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс i{displaystyle !i}-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы |

Под влиянием внешней силы f(t){displaystyle !f(t)} квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n{displaystyle !n}) на другой (m{displaystyle !m}). Вероятность этого перехода Wn,m(t){displaystyle !W_{n,m}(t)} для осциллятора без затухания даётся формулой:

Wn,m(t)=n!m!|δ|2(n−m)exp(−|δ2|(Lnm−n(|δ|2))2){displaystyle W_{n,m}(t)={frac {n!}{m!}}|delta |^{2(n-m)}exp(-|delta ^{2}|left(L_{n}^{m-n}(|delta |^{2})right)^{2})},

где функция δ(t){displaystyle !delta (t)} определяется как:

δ(t)=−ilℏ∫0tf(τ)exp(iωτ)dτ{displaystyle delta (t)=-ilhbar int limits _{0}^{t}{f(tau )exp(iomega tau )dtau }},

а Lmm−n{displaystyle L_{m}^{m-n}} — полиномы Лагерра.

См. также |

• Уровни Ландау


• Гармонический осциллятор

Литература |

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).