Rstykt

Квантовая механика

Δx⋅Δpx⩾ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x}geqslant {frac {hbar }{2}}} Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция, или пси-фу́нкция ψ{displaystyle psi } — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

|ψ(t)⟩=∫Ψ(x,t)|x⟩dx{displaystyle left|psi (t)rightrangle =int Psi (x,t)left|xrightrangle dx}

где |x⟩=|x1,x2,…,xn⟩{displaystyle left|xrightrangle =left|x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}rightrangle } — координатный базисный вектор, а
Ψ(x,t)=⟨x|ψ(t)⟩{displaystyle Psi (x,t)=langle xleft|psi (t)rightrangle } — волновая функция в координатном представлении.

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Физический смысл |

В координатном представлении волновая функция Ψ(x1,x2,…,xn,t){displaystyle Psi (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},t)} зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается квадрату её модуля |Ψ(x1,x2,…,xn,t)|2{displaystyle left|Psi (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},t)right|^{2}}, который интерпретируется как плотность вероятности ω{displaystyle omega } (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами x1=x01,x2=x02,…,xn=x0n{displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},ldots ,x_{n}=x_{0n}} в момент времени t{displaystyle t}:

ω=dPdV=|Ψ(x1,x2,…,xn,t)|2=Ψ∗Ψ{displaystyle omega ={frac {dP}{dV}}=left|Psi (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},t)right|^{2}=Psi ^{ast }Psi }.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией Ψ(x1,x2,…,xn,t){displaystyle Psi (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},t)}, можно рассчитать вероятность P{displaystyle P} того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема V{displaystyle V}:
P=∫dP=∫VωdV=∫VΨ∗ΨdV{displaystyle P={int {dP}}={int limits _{V}{omega }dV}={int limits _{V}{Psi ^{ast }Psi }dV}}     (1){displaystyle (1)}.

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

Нормированность волновой функции |

Волновая функция Ψ{displaystyle Psi } по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

∫VΨ∗ΨdV=1{displaystyle {int limits _{V}{Psi ^{ast }Psi }dV}=1}

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний |

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1{displaystyle Psi _{1}} и Ψ2{displaystyle Psi _{2}}, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

ΨΣ=c1Ψ1+c2Ψ2{displaystyle Psi _{Sigma }=c_{1}Psi _{1}+c_{2}Psi _{2}}
при любых комплексных c1{displaystyle c_{1}} и c2{displaystyle c_{2}}.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией ΨΣ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+cNΨN=∑n=1NcnΨn{displaystyle Psi _{Sigma }=c_{1}Psi _{1}+c_{2}Psi _{2}+ldots +{c}_{N}{Psi }_{N}=sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{Psi }_{n}}.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента cn{displaystyle {c}_{n}} определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψn{displaystyle {Psi }_{n}}.

Поэтому для нормированных волновых функций ∑n=1N|cn|2=1{displaystyle sum _{n=1}^{N}left|c_{n}right|^{2}=1}.

Условия регулярности волновой функции |

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

1. 
   Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл (1){displaystyle (1)} станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, т.е принадлежала гильбертовому пространству L2{displaystyle L^{2}}. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.


2. 
   Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.


3. 
   Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции ∂Ψ∂x{displaystyle {frac {partial Psi }{partial x}}}, ∂Ψ∂y{displaystyle {frac {partial Psi }{partial y}}}, ∂Ψ∂z{displaystyle {frac {partial Psi }{partial z}}}. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Волновая функция в различных представлениях |

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Матричная и векторная формулировки |

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.
В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Описание смешанных квантовых состояний |

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать при помощи матрицы плотности.

См. также |

• Собственное состояние


• Оператор (физика)


• Уравнение Шрёдингера


• Принцип неопределённости Гейзенберга


• Блоховская волна


• Редукция волновой функции


• Функция Вигнера

Литература |

• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.

Ссылки |

• 
  Квантовая механика — статья из Большой советской энциклопедии. 


• Физический энциклопедический словарь: Квантовая механика"

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.