Rstykt

Квантовая механика

Δx⋅Δpx⩾ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x}geqslant {frac {hbar }{2}}} Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Во́лны де Бро́йля — волны вероятности (или волны амплитуды вероятности^[1]), определяющие плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923–1924 годах^[2] и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну^[3], по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц |

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с ℏ{displaystyle hbar } (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме c{displaystyle c}, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях близких к c{displaystyle c} — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом p{displaystyle p}. Все частицы, имеющие конечный импульс p{displaystyle p}, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции^[4].

Природа волн де Бройля |

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля |

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны λ{displaystyle lambda }, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса p{displaystyle p} частицы, а полной энергии E{displaystyle E} — от частоты ν{displaystyle nu }, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

λ=hp,{displaystyle lambda ={frac {h}{p}},}

E=hν,{displaystyle E=hnu ,}

где h{displaystyle h} — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

p=h2πk=ℏk,{displaystyle mathbf {p} ={frac {h}{2pi }}mathbf {k} =hbar mathbf {k} ,}

E=ℏω,{displaystyle E=hbar omega ,}

где k=2πλn{displaystyle mathbf {k} ={frac {2pi }{lambda }}mathbf {n} } — волновой вектор, модуль которого k=2πλ{displaystyle k={frac {2pi }{lambda }}} — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на 2π{displaystyle 2pi } единицах длины, ω=2πν{displaystyle omega =2pi nu } — циклическая частота, n{displaystyle mathbf {n} } — единичный вектор в направлении распространения волны, ℏ=h2π≈1,05⋅10−34{displaystyle hbar ={frac {h}{2pi }}approx 1{,}05cdot 10^{-34}} Дж·с.

Полная энергия E=EK+m0c{displaystyle E=E_{K}+m_{0}c} включает кинетическую энергию EK{displaystyle E_{K}} и энергию покоя E0=m0c{displaystyle E_{0}=m_{0}c}, в терминах которых

λ=hp=hc[EK(EK+2m0c)]−1/2,{displaystyle lambda ={frac {h}{p}}=hc[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c)]^{-1/2},}

где hc=1239.841984 eV nm, и значения m0c{displaystyle m_{0}c} равны 0 для фотона и безмассовых частиц, mec={displaystyle m_{e}c=}510998.9461 eV для электрона, и mpc={displaystyle m_{p}c=}938272081.3 eV для протона.

Нерелятивистский предел |

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью v≪c{displaystyle vll c} (скорости света), для импульса справедлива формула p=mv{displaystyle p=mv} (где m{displaystyle m} — масса частицы), для кинетической энергии W=E−mc2{displaystyle W=E-mc^{2}} — формула W=mv2/2{displaystyle W=mv^{2}/2}. Тогда длина волны де Бройля

λ=hp=hmv=h2mW.{displaystyle lambda ={frac {h}{p}}={frac {h}{mv}}={frac {h}{sqrt {2mW}}}.}

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов Δφ{displaystyle Delta varphi } вольт

λ=12,25ΔφÅ.{displaystyle lambda ={frac {12{,}25}{sqrt {Delta varphi }}};mathrm {AA} .}

Ультрарелятивистский предел |

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, v→c,E≫mc2{displaystyle vrightarrow c,Egg mc^{2}}, длины волны равна λ=hcE{displaystyle lambda ={frac {hc}{E}}}^[5].

Формулы де Бройля для четырёхвекторов |

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса pμ{displaystyle p^{mu }} с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид^[6]:

pμ=(p0p1p2p3)=(E/cpxpypz)=ℏ(ω/ckxkykz).{displaystyle p^{mu }={begin{pmatrix}p_{0}\p_{1}\p_{2}\p_{3}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}E/c\p_{x}\p_{y}\p_{z}end{pmatrix}}=hbar {begin{pmatrix}omega /c\k_{x}\k_{y}\k_{z}end{pmatrix}}.}

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

E2c2=m2c2+px2+py2+pz2.{displaystyle {frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.}

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор^[6]:

ω2c2=m2c2ℏ2+kx2+ky2+kz2.{displaystyle {frac {omega ^{2}}{c^{2}}}={frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля |

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

vf=ωk=Ep=mc2mv=c2v≃c2hmλ=c2p22Whλ.{displaystyle v_{f}={frac {omega }{k}}={frac {E}{p}}={frac {mc^{2}}{mv}}={frac {c^{2}}{v}}simeq {frac {c^{2}}{h}}mlambda ={frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}lambda .}

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость vf{displaystyle v_{f}} волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля u{displaystyle u} равна скорости частицы v{displaystyle v}:

u=dωdk=dEdp=v{displaystyle u={frac {domega }{dk}}={frac {dE}{dp}}=v}.

Экспериментальная проверка |

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики^[7]:

• 
  Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.


• 
  Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.


• 
  Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.


• 
  Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также |

• Волновой пакет


• Комптоновская длина волны


• Ток вероятности

Примечания |

Литература |

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М: Мир, 1976. — 496 с.

Ссылки |

• 
  Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»


• 
  Соотношение де Бройля // «Элементы»