Гамильтонова механика













Классическая механика

d(mv→)dt=F→{displaystyle {frac {mathrm {d} (m{vec {v}})}{mathrm {d} t}}={vec {F}}}{frac {mathrm {d} (m{vec {v}})}{mathrm {d} t}}={vec {F}}
Второй закон Ньютона

История…








См. также: Портал:Физика

Гамильто́нова меха́ника является одной из формулировок классической механики. Предложена в 1833 году Уильямом Гамильтоном. Она возникла из лагранжевой механики, другой формулировки классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий и пуассоновых многообразий[1].


Несмотря на формальную эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой механики, последняя, помимо привнесённых ею полезных технических дополнений, сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с механикой квантовой (Гамильтон изначально хотел[источник не указан 2041 день] сформулировать классическую механику как коротковолновый предел некоторой волновой теории, что практически полностью соответствует современному взгляду).


Существует точка зрения, что формализм Гамильтона вообще более фундаментален и органичен, в том числе и в особенности для квантовой механики (Дирак), хотя эта точка зрения и не стала общепризнанной, в основном, видимо, из-за того, что заметная часть таких интерпретаций теряет явную (только явную) лоренц-ковариантность, а также потому, что эта точка зрения не дала такого практического выхода, который убедил бы в её важности всех. Впрочем, следует заметить, что эвристически она, вероятно, была не последней среди побудительных причин, приведших к открытию уравнения Дирака — одного из наиболее фундаментальных уравнений квантовой теории.




Содержание






  • 1 Переформулировка лагранжевой механики


  • 2 Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия


  • 3 Математический формализм


  • 4 Примечания


  • 5 См. также


  • 6 Ссылки





Переформулировка лагранжевой механики |


В лагранжевой механике механическая система характеризуется лагранжианом : L(q,q˙,t){displaystyle L(q,;{dot {q}},;t)}L(q,;{dot {q}},;t) — функцией обобщённых координат q{displaystyle q}q и соответствующих скоростей q˙{displaystyle {dot {q}}}{dot {q}}, а также, возможно, времени t{displaystyle t}t. В гамильтоновой механике вводится понятие обобщенных импульсов, сопряженных обобщенным координатам и определяемых через лагранжиан следующим образом:



p=∂L∂q˙{displaystyle p={frac {partial L}{partial {dot {q}}}}}p={frac {partial L}{partial {dot {q}}}}.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости, — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.


Векторное уравнение Эйлера — Лагранжа тогда примет вид



p˙=∂L∂q{displaystyle {dot {p}}={frac {partial L}{partial q}}}{dot {p}}={frac {partial L}{partial q}}.

Отсюда, в частности, следует, что если какая-то координата оказалась циклической, то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то для сопряжённого ей импульса p˙=0{displaystyle {dot {p}}=0}{dot {p}}=0, то есть он является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов.


В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.


С помощью преобразования Лежандра лагранжиана определяется функция Гамильтона — гамильтониан:



H(q,p,t)=∑iq˙ipi−L(q,q˙,t){displaystyle Hleft(q,;p,;tright)=sum _{i}{dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,;{dot {q}},;t)}Hleft(q,;p,;tright)=sum _{i}{dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,;{dot {q}},;t).

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, не зависят от t{displaystyle t}t, можно показать, что H{displaystyle H}H равен полной энергии:



E=T+V{displaystyle E=T+V}E=T+V.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:


dH=∑i[q˙idpi+pidq˙i−∂L∂qidqi−∂L∂q˙idq˙i]−(∂L∂t)dt=∑i[q˙idpi+pidq˙i−p˙idqi−pidq˙i]−∂L∂tdt={displaystyle dH=sum _{i}left[{dot {q}}_{i},dp_{i}+p_{i},d{dot {q}}_{i}-{frac {partial L}{partial q_{i}}}dq_{i}-{frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}},d{dot {q}}_{i}right]-left({frac {partial L}{partial t}}right),dt=sum _{i}left[{dot {q}}_{i},dp_{i}+p_{i},d{dot {q}}_{i}-{dot {p}}_{i},dq_{i}-p_{i},d{dot {q}}_{i}right]-{frac {partial L}{partial t}},dt=}dH =sum_ileft[dot{q}_i,dp_i+p_i,ddot{q}_i-frac{partial L}{partial q_i}dq_i-frac{partial L}{partialdot{q}_i},ddot{q}_iright]-left(frac{partial L}{partial t}right),dt=sum_ileft[dot{q}_i,dp_i+p_i,ddot{q}_i-dot{p}_i,dq_i-p_i,ddot{q}_iright]-frac{partial L}{partial t},dt =


=∑i[q˙idpi−p˙idqi]−∂L∂tdt{displaystyle =sum _{i}left[{dot {q}}_{i},dp_{i}-{dot {p}}_{i},dq_{i}right]-{frac {partial L}{partial t}},dt}=sum_ileft[dot{q}_i,dp_i-dot{p}_i,dq_iright]-frac{partial L}{partial t},dt.

С учетом того, что полный дифференциал гамильтониана также равен



dH=∑i[∂H∂qidqi+∂H∂pidpi]+(∂H∂t)dt{displaystyle dH=sum _{i}left[{frac {partial H}{partial q_{i}}},dq_{i}+{frac {partial H}{partial p_{i}}},dp_{i}right]+left({frac {partial H}{partial t}}right),dt}dH=sum _{i}left[{frac {partial H}{partial q_{i}}},dq_{i}+{frac {partial H}{partial p_{i}}},dp_{i}right]+left({frac {partial H}{partial t}}right),dt,

получим уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:


∂H∂qj=−p˙j,∂H∂pj=q˙j,∂H∂t=−∂L∂t{displaystyle {frac {partial H}{partial q_{j}}}=-{dot {p}}_{j},qquad {frac {partial H}{partial p_{j}}}={dot {q}}_{j},qquad {frac {partial H}{partial t}}=-{frac {partial L}{partial t}}}{frac {partial H}{partial q_{j}}}=-{dot {p}}_{j},qquad {frac {partial H}{partial p_{j}}}={dot {q}}_{j},qquad {frac {partial H}{partial t}}=-{frac {partial L}{partial t}}

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.


Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.


Для произвольной функции канонических переменных f(q,p,t){displaystyle f(q,;p,;t)}f(q,;p,;t) имеем


dfdt=∂f∂t+∑i(∂f∂qiqi˙+∂f∂pipi˙)=∂f∂t+∑i(∂f∂qi∂H∂pi−∂f∂pi∂H∂qi)=∂f∂t+{H,f},{displaystyle {frac {df}{dt}}={frac {partial f}{partial t}}+sum _{i}left({frac {partial f}{partial q_{i}}}{dot {q_{i}}}+{frac {partial f}{partial p_{i}}}{dot {p_{i}}}right)={frac {partial f}{partial t}},+,sum _{i}left({frac {partial f}{partial q_{i}}}{frac {partial H}{partial p_{i}}}-{frac {partial f}{partial p_{i}}}{frac {partial H}{partial q_{i}}}right)={frac {partial f}{partial t}},+,{H,;f},}{frac {df}{dt}}={frac {partial f}{partial t}}+sum _{i}left({frac {partial f}{partial q_{i}}}{dot {q_{i}}}+{frac {partial f}{partial p_{i}}}{dot {p_{i}}}right)={frac {partial f}{partial t}},+,sum _{i}left({frac {partial f}{partial q_{i}}}{frac {partial H}{partial p_{i}}}-{frac {partial f}{partial p_{i}}}{frac {partial H}{partial q_{i}}}right)={frac {partial f}{partial t}},+,{H,;f},

где {H,f}{displaystyle {H,;f}}{H,;f} — скобка Пуассона.
Данное уравнение является основным уравнением гамильтоновой механики. Можно непосредственно проверить, что оно справедливо также и для самих канонических переменных f=q{displaystyle f=q}f=q или f=p{displaystyle f=p}f=p.


Из данного уравнения следует, что если некоторая динамическая переменная не является непосредственной функцией времени, то она является интегралом движения тогда и только тогда, когда её скобка Пуассона равна нулю.



Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия |


Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:


S=∫(∑jpjdqj−H(p,q)dt)=∫(∑jpjq˙j−H(p,q))dt,{displaystyle S=int left(sum _{j}p_{j},dq_{j}-H(p,;q),dtright)=int left(sum _{j}p_{j}{dot {q}}_{j}-H(p,;q)right),dt,}S=int left(sum _{j}p_{j},dq_{j}-H(p,;q),dtright)=int left(sum _{j}p_{j}{dot {q}}_{j}-H(p,;q)right),dt,

которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке[2]. (Под p{displaystyle p}p и q{displaystyle q}q без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат).


Условие стационарности действия


δS=0{displaystyle delta S=0}delta S=0

даёт возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведётся независимо по δpj{displaystyle delta p_{j}}delta p_{j} и δqj{displaystyle delta q_{j}}delta q_{j}. Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:



p˙j=−∂H∂qj,{displaystyle {dot {p}}_{j}=-{frac {partial H}{partial q_{j}}},}{dot {p}}_{j}=-{frac {partial H}{partial q_{j}}},

q˙j=∂H∂pj.{displaystyle {dot {q}}_{j}={frac {partial H}{partial p_{j}}}.}{dot {q}}_{j}={frac {partial H}{partial p_{j}}}.


Используя второе, можно выразить все pj{displaystyle p_{j}}p_{j} через набор qi{displaystyle q_{i}}q_{i} и qi˙{displaystyle {dot {q_{i}}}}dot{q_i}, после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.



Математический формализм |


Любая гладкая функция H:M→R{displaystyle Hcolon Mto mathbb {R} }Hcolon Mto mathbb{R} на симплектическом многообразии M{displaystyle M}M может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция H{displaystyle H}H известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.


Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.


Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона. Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.


Если мы имеем распределение вероятности ρ{displaystyle rho }rho , то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства (p˙i,q˙i{displaystyle {{dot {p}}_{i}},;{{dot {q}}_{i}}}{{dot p}_{i}},;{{dot q}_{i}}) имеет нулевую дивергенцию, и вероятность сохраняется. Получим


∂∂tρ=−{ρ,H}.{displaystyle {frac {partial }{partial t}}rho =-{rho ,;H}.}{frac {partial }{partial t}}rho =-{rho ,;H}.

Это выражение называют уравнением Лиувилля. Каждая гладкая функция G{displaystyle G}G над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если {G,H}=0{displaystyle {G,;H}=0}{G,;H}=0, то G{displaystyle G}G сохраняется фазовым потоком.


Интегрируемость гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще, гамильтоновы системы — хаотичны; понятия меры, полноты, интегрируемости и стабильности плохо определены. В настоящее время исследования динамических систем посвящены, главным образом, изучению качественных свойств систем, и их изменений.



Примечания |





  1. ↑ А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. - 464с.


  2. ↑ Это (с точностью до постоянного множителя, который можно опустить при подходящем выборе единиц измерения), пожалуй, наиболее прямо записанное выражение для фазы
    φ=∫(∑jkjdxj−ω(kj,xj)dt){displaystyle scriptstyle {varphi =int left(sum limits _{j}k_{j},dx_{j}-omega (k_{j},;x_{j}),dtright)}}scriptstyle {varphi =int left(sum limits _{j}k_{j},dx_{j}-omega (k_{j},;x_{j}),dtright)}

    в квантовой механике (с точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям или при простом квазиклассическом рассмотрении движения волнового пакета), где импульс и энергия являются с точностью до того же постоянного множителя (константы Планка) — частотой и волновым вектором
    pj=ℏkj,E=ℏω{displaystyle scriptstyle {p_{j}=hbar k_{j},quad E=hbar omega }}scriptstyle {p_{j}=hbar k_{j},quad E=hbar omega }

    (здесь для простоты использованы декартовы координаты). Метод же стационарной фазы δφ=0{displaystyle scriptstyle {delta varphi =0}}scriptstyle {delta varphi =0} даёт классическое приближение, что полностью аналогично излагаемому гамильтонову способу, другими словами, просто его повторяет. Заметим также, что в целом это один из наиболее прямых способов установить аналогию между распространением «точечных» волновых пакетов возмущений в широком классе сред и движением материальной точки механики. Аналогия же эта, в частности, позволяет получить ещё одну полезную точку зрения на природу и свойства обобщённых импульсов.




См. также |



  • Симплектическое многообразие

  • Симплектическое пространство

  • Уравнения Гамильтона

  • Уравнение Гамильтона — Якоби

  • Лагранжева механика

  • Аналитическая механика

  • Гамильтонова теория поля



Ссылки |



  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.


  • Вилази Г. Гамильтонова динамика. — Перевод с англ. — М.: ИКИ и РХД, 2006. — 432 с. — ISBN 5-93972-444-2.


  • тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974.


  • Виноградов А. М., Красильщик И. С. Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.


  • Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. Структура гамильтоновой механики // Успехи математических наук. — 1977. — Т. 32. — стр. 175—236.


  • Abraham R., Marsden J. E. Foundations of Mechanics. — London: Benjamin-Cummings, 1978. — ISBN 0-8053-0102-X.


  • Rychlik M. Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction.  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [2048 дней] — история)


  • Binney J. Classical Mechanics. — Лекции в формате PDF.


  • Tong D. Classical Dynamics. — Лекции Кембриджского университета.








-

Popular posts from this blog

Steve Gadd

Image
For other people named Steve Gadd, see Steve Gadd (disambiguation). Steve Gadd Gadd at Bodø Jazz Open, 2014 Background information Birth name Stephen Kendall Gadd Born ( 1945-04-09 ) April 9, 1945 (age 73) Irondequoit, New York, U.S. Genres Jazz post-bop jazz fusion rock blues R&B Occupation(s) Musician, drummer, percussionist and session musician Instruments Drums, percussion Years active 1968–present Website www.drstevegadd.com Stephen Kendall Gadd (born April 9, 1945 [1] ) is an American drummer, percussionist, and session musician. Gadd is one of the most well-known and highly regarded session and studio drummers in the industry, recognized by his induction into the Modern Drummer Hall of Fame in 1984. [2] Gadd's performance on Paul Simon's "50 Ways to Leave Your Lover" and Steely Dan's "Aja" are examples of his style. He has worked with popular musicians from many genres including Simon &
Read more

Лира (музыкальный инструмент)

Image
У этого термина существуют и другие значения, см. Лира. Лира Аполлон с лирой, ок. 460 до н. э. Археологический музей в Дельфах. Классификация Струнный инструмент, Хордофон Родственные инструменты Арфа  Лира на Викискладе Ли́ра (др.-греч. λύρα , лат.  lyra ) — старинный струнный щипковый инструмент (хордофон). Содержание 1 Лира в античности 1.1 Общая характеристика 1.2 Этос и функционирование лиры 2 Другие значения термина 3 Рецепция 4 Примечания 5 Литература Лира в античности | Общая характеристика | В Древней Греции и Древнем Риме словом лира в широком смысле обозначался любой инструмент семейства лир — хе́лис (др.-греч. χέλυς , лат.  chelys, chelis букв. черепаха), ба́рбит (др.-греч. βάρβιτον, βάρβιτος , лат.  barbitos, barbitus ), фо́рминга (др.-греч. φόρμιγξ ), или кифара (др.-греч. κιθάρα , лат.  cithara ). В узком смысле лирой назывался хелис — простейшая и самая лёгкая по весу из лир, с корпусом из панци
Read more

Сарыагашский район

Image
район Сарыагашский район Сарыағаш ауданы Герб Страна Казахстан Входит в Туркестанскую область Включает 14 административных единиц [1] Административный центр Сарыагаш Дата образования 16 октября 1939 Аким Абдуалиев Кайрат Аманкелдинович Заместитель акима Таскулов Смайл Абубакирович Заместитель акима Есбаев Акментай Усенович ВВП ВВП на душу населения 141,436 млн. тенге ( 2014 ) 66,837 тенге Официальные языки казахский, русский языки Население 183 363 [2]  чел. ( 2018 )( 2-е место ) Плотность 41 чел./км² Национальный состав казахи - 88,57% узбеки - 3,65% таджики - 2,76% русские - 0,88% другие национальности - 4,14%(2016г.) [3] Конфессиональный состав мусульмане Площадь 4170,74 [1]  км² Часовой пояс UTC+6 Код автом. номеров Х, 13 Официальный сайт Сарыагашский район  — район Туркестанской области Республики Казахстан. Административный центр — город Сарыагаш.
Read more