Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера
Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера описывает нелинейную динамику электромагнитного поля в вакууме. Был впервые получен Вернером Гейзенбергом и Гансом Эйлером[1] в 1936 году для учёта влияния эффектов квантовой электродинамики на свободное электромагнитное поле через рождение пар виртуальных электронов-позитронов.
Физические предпосылки |
Рис. 1. Диаграмма Фейнмана для поляризации вакуума (однопетлевое приближение)
Рис. 2. Фейнмановская диаграмма дельбрюковского рассеяния
При выводе формулы эффекты поляризации вакуума учитываются в однопетлевом приближении, справедливом для электромагнитных полей, мало изменяющихся на расстояниях порядка комптоновской длины волны. Пример такого процесса изображён на рисунке для одной входящей и одной выходящей фотонной линии. Замкнутая петля учитывает рождение электрона (верхняя часть петли) и позитрона (нижняя часть петли) в левой вершине и их уничтожение в правой. С учётом таких процессов плотность лагранжиана в отличие от классической электродинамики выражается не только через инварианты поля, F=12(B2−E2){displaystyle {mathcal {F}}={frac {1}{2}}left(mathbf {B} ^{2}-mathbf {E} ^{2}right)}
- L=−F−18π2∫0∞exp(−m2s)[(es)2Recosh(es2(F+iG))Imcosh(es2(F+iG))G−23(es)2F−1]dss3{displaystyle {mathcal {L}}=-{mathcal {F}}-{frac {1}{8pi ^{2}}}int _{0}^{infty }exp left(-m^{2}sright)left[(es)^{2}{frac {operatorname {Re} cosh left(es{sqrt {2left({mathcal {F}}+i{mathcal {G}}right)}}right)}{operatorname {Im} cosh left(es{sqrt {2left({mathcal {F}}+i{mathcal {G}}right)}}right)}}{mathcal {G}}-{frac {2}{3}}(es)^{2}{mathcal {F}}-1right]{frac {ds}{s^{3}}}}
![{displaystyle {mathcal {L}}=-{mathcal {F}}-{frac {1}{8pi ^{2}}}int _{0}^{infty }exp left(-m^{2}sright)left[(es)^{2}{frac {operatorname {Re} cosh left(es{sqrt {2left({mathcal {F}}+i{mathcal {G}}right)}}right)}{operatorname {Im} cosh left(es{sqrt {2left({mathcal {F}}+i{mathcal {G}}right)}}right)}}{mathcal {G}}-{frac {2}{3}}(es)^{2}{mathcal {F}}-1right]{frac {ds}{s^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08030ade1d438947d95a570371d6355148e8dc10)
В случае слабых полей
- L=12(E2−B2)+2α245m4[(E2−B2)2+7(E⋅B)2]{displaystyle {mathcal {L}}={frac {1}{2}}left(mathbf {E} ^{2}-mathbf {B} ^{2}right)+{frac {2alpha ^{2}}{45m^{4}}}left[left(mathbf {E} ^{2}-mathbf {B} ^{2}right)^{2}+7left(mathbf {E} cdot mathbf {B} right)^{2}right]}
![{displaystyle {mathcal {L}}={frac {1}{2}}left(mathbf {E} ^{2}-mathbf {B} ^{2}right)+{frac {2alpha ^{2}}{45m^{4}}}left[left(mathbf {E} ^{2}-mathbf {B} ^{2}right)^{2}+7left(mathbf {E} cdot mathbf {B} right)^{2}right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c304d519cf18ac25d5560765cd0421162878c361)
В частности, на основе полученного лагранжиана можно вычислить амплитуду рассеяния фотона на фотоне[3] (см. рисунок 2), которая для свободных фотонов оказывается исключительно малой. Тем не менее оказывается возможным наблюдение рассеяния Дельбрюка при взаимодействии гамма-фотона с виртуальным фотоном (например, в кулоновском поле атомного ядра)[4].
Эксперименты и наблюдения |
Расщепление фотона в сильном магнитном поле было измерено в 2002 году[5]. Представляет интерес возможность астрофизических наблюдений предсказываемого в рамках формализма Гейзенберга — Эйлера двойного лучепреломления для электромагнитных волн в сверхсильных магнитных полях. В 2016 году группа астрономов из Италии, Польши и Великобритании сообщила[6] о наблюдении света, излучаемого нейтронной звездой (пульсар RX J1856.5−3754). Напряжённость исключительно сильного магнитного поля вблизи звезды составляет 1013 Гс, так что эффект двойного лучепреломления может быть достаточно заметным и объяснять наблюдавшуюся степень поляризации света ≈16{displaystyle approx 16}
Примечания |
↑ Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons (нем.) // Zeitschrift fur Physik. — 1936. — Bd. 98. — S. 714–732.
↑ Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — С. 237—238.
↑ Karplus R., Neuman M. The Scattering of Light by Light (англ.) // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 83. — P. 776.
↑ Akhmadaliev Sh. Zh. et al. Delbrück scattering at energies of 140—450 MeV (англ.) // Phys. Rev. C. — 1998. — Vol. 58. — P. 2844.
↑ Akhmadaliev Sh. Zh. et al. Experimental investigation of high-energy photon splitting in atomic fields (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89. — P. 061802.
↑ Mignani R. P. et al. Evidence for vacuum birefringence from the first optical-polarimetry measurement of the isolated neutron star RX J1856.5−3754 (англ.) // Month. Not. Roy. Astron. Soc. — 2017. — Vol. 465. — P. 492.
↑ Fan X. et al. The OVAL experiment: A new experiment to measure vacuum magnetic birefringence using high repetition pulsed magnets (англ.) // arXiv preprint arXiv:1705.00495. — 2017.
