Rstykt

Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные^{[K 1]} чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный^[1]) — числа вида a+bi{displaystyle a+bi}, где a,b{displaystyle a,b} — вещественные числа, i{displaystyle i} — мнимая единица^[2], то есть число, для которого выполняется равенство: i2=−1.{displaystyle i^{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом C.{displaystyle mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид a+0i{displaystyle a+0i}. Главное свойство C{displaystyle mathbb {C} } — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n{displaystyle n}-й степени (n⩾1{displaystyle ngeqslant 1}) имеет n{displaystyle n} корней. Доказано.mw-parser-output .ts-Переход img{margin-left:.285714em}^[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива^{[K 2]}.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания^[⇨], умножения^[⇨] и деления^[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше^[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi{displaystyle a+bi} точками на комплексной плоскости^[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси^[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней^[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе^[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число^[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i{displaystyle i} для мнимой единицы, Декарт, Гаусс^[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году^[1].

Свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других^[4][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы^[⇨].

Комплексная арифметика |

Связанные определения |

Всякое комплексное число z=a+bi{displaystyle z=a+bi} состоит из двух компонентов^[5]:

• Величина a{displaystyle a} называется вещественной частью числа z{displaystyle z} и в русскоязычной традиции обозначается Rez{displaystyle operatorname {Re} ,z} или Re⁡(z).{displaystyle operatorname {Re} (z).} Также встречается готический символ^[6]: ℜ(z).{displaystyle Re (z).}
  
  • Если a=0{displaystyle a=0}, то z{displaystyle z} называется мнимым или чисто мнимым числом. Вместо 0+bi{displaystyle 0+bi} обычно пишут просто bi.{displaystyle bi.}
    
  
  


• Величина b{displaystyle b} называется мнимой частью числа z{displaystyle z} и в русскоязычной традиции обозначается Imz{displaystyle operatorname {Im} ,z} или Im⁡(z).{displaystyle operatorname {Im} (z).} Также встречается готический символ^[7]: ℑ(z).{displaystyle Im (z).}
  
  • Если b=0{displaystyle b=0}, то z{displaystyle z} является вещественным числом. Вместо a+0i{displaystyle a+0i} обычно пишут просто a.{displaystyle a.} Например, комплексный нуль 0+0i{displaystyle 0+0i} обозначается просто как 0.{displaystyle 0.}
    
  
  

Противоположным для комплексного числа z=a+bi{displaystyle z=a+bi} является число −z=−a−bi.{displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа 1−2i{displaystyle 1-2i} противоположным будет число −1+2i.{displaystyle -1+2i.}

Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из a<b{displaystyle a<b} вытекало a+c<b+c{displaystyle a+c<b+c}). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно)^[5]:

• 
  a+bi=c+di{displaystyle a+bi=c+di} означает, что a=c{displaystyle a=c} и b=d{displaystyle b=d} (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Сложение и вычитание |

Определение сложения и вычитания комплексных чисел^[5]:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,{displaystyle left(a+biright)+left(c+diright)=left(a+cright)+left(b+dright)i,}

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.{displaystyle left(a+biright)-left(c+diright)=left(a-cright)+left(b-dright)i.}

Следующая таблица^[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных u,v,w.{displaystyle u,v,w.}

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u}
Ассоциативность (сочетательность)	u+(v+w)=(u+v)+w{displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w}
Свойство нуля	u+0=u{displaystyle u+0=u}
Свойство противоположного элемента	u+(−u)=0{displaystyle u+(-u)=0}
Выполнение вычитания через сложение	u−v=u+(−v){displaystyle u-v=u+(-v)}

Умножение |

Определим произведение^[5] комплексных чисел a+bi{displaystyle a+bi} и c+di{displaystyle c+di}:

(a+bi)⋅(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(ac−bd)+(bc+ad)i{displaystyle (a+bi)cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i}.

Следующая таблица^[5] показывает основные свойства умножения для любых комплексных u,v,w{displaystyle u,v,w}.

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	u⋅v=v⋅u{displaystyle ucdot v=vcdot u}
Ассоциативность (сочетательность)	u⋅(v⋅w)=(u⋅v)⋅w{displaystyle ucdot (vcdot w)=(ucdot v)cdot w}
Свойство единицы	u⋅1=u{displaystyle ucdot 1=u}
Свойство нуля	u⋅0=0{displaystyle ucdot 0=0}
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w{displaystyle ucdot (v+w)=ucdot v+ucdot w}

Правила для степеней мнимой единицы:

i2=−1;i3=−i;i4=1;i5=i{displaystyle i^{2}=-1;;i^{3}=-i;;i^{4}=1;i^{5}=i} и т. д.

Деление |

Комплексное число z¯=x−iy{displaystyle {bar {z}}=x-iy} называется сопряжённым к комплексному числу z=x+iy{displaystyle z=x+iy} (см. подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа a+bi{displaystyle a+bi}, кроме нуля, можно найти обратное к нему^[8] комплексное число 1a+bi{displaystyle {frac {1}{a+bi}}}. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число a−bi{displaystyle a-bi}, комплексно сопряжённое знаменателю

1a+bi=a−bi(a+bi)(a−bi)=a−bia2+b2=aa2+b2−ba2+b2i.{displaystyle {frac {1}{a+bi}}={frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}}={frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}

Определим результат деления^[5] комплексного числа a+bi{displaystyle a+bi} на ненулевое число c+di{displaystyle c+di}:

a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+(bc−adc2+d2)i.{displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {left(a+biright)left(c-diright)}{left(c+diright)left(c-diright)}}={frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+left({frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}right)i.}

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции |

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных |

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учётом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры)^[9].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень n{displaystyle n}-й степени из ненулевого числа имеет n{displaystyle n} различных комплексных значений^[10]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного^[⇨]..

Замечания о выражении √−1 |

Заметим, что число i{displaystyle i} не является единственным числом, квадрат которого равен −1{displaystyle -1}. Число −i{displaystyle -i} также обладает этим свойством.

Следует также заметить, что выражение −1{displaystyle {sqrt {-1}}}, ранее часто использовавшееся вместо i{displaystyle i}, не вполне корректно, так как арифметический корень определяется только для неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как 5+i3{displaystyle 5+i{sqrt {3}}}, а не 5+−3{displaystyle 5+{sqrt {-3}}}, несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым^[11].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

−3⋅−3=(−3)⋅(−3)=(−3)2=9=3{displaystyle {sqrt {-3}}cdot {sqrt {-3}}={sqrt {left(-3right)cdot left(-3right)}}={sqrt {left(-3right)^{2}}}={sqrt {9}}=3}.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

(i3)⋅(i3)=(i⋅3)2=i2⋅(3)2=−3.{displaystyle left(i{sqrt {3}}right)cdot left(i{sqrt {3}}right)=left(icdot {sqrt {3}}right)^{2}=i^{2}cdot left({sqrt {3}}right)^{2}=-3.}

Геометрическое представление |

Комплексная плоскость |

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу z=x+iy{displaystyle z=x+iy} соответствует точка плоскости с координатами {x,y}{displaystyle left{x,yright}} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями^[12].

Модуль r{displaystyle r} и аргумент φ{displaystyle varphi } комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние r{displaystyle r} до начала координат (модуль^[⇨]) и угол φ{displaystyle varphi } радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент^[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа^[13]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»^[14].

Пример: умножение на i{displaystyle i} поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на −i{displaystyle -i} радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль |

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа z=x+iy{displaystyle z=x+iy} обозначается |z|{displaystyle left|zright|} (иногда r{displaystyle r} или ρ{displaystyle rho }) и определяется выражением^[13]

|z|=x2+y2{displaystyle left|zright|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.

Если z{displaystyle z} является вещественным числом, то |z|{displaystyle left|zright|} совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых z,z1,z2∈C{displaystyle z,z_{1},z_{2}in mathbb {C} } имеют место следующие свойства модуля^[13][15]:

1) |z|⩾0{displaystyle left|zright|geqslant 0}, причём |z|=0{displaystyle left|zright|=0} тогда и только тогда, когда z=0{displaystyle z=0};

2) |z1+z2|⩽|z1|+|z2|{displaystyle left|z_{1}+z_{2}right|leqslant left|z_{1}right|+left|z_{2}right|} (неравенство треугольника);

3) |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|{displaystyle left|z_{1}cdot z_{2}right|=left|z_{1}right|cdot left|z_{2}right|};

4) |z1z2|=|z1||z2|{displaystyle left|{frac {z_{1}}{z_{2}}}right|={frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}}.

5) Для пары комплексных чисел z1{displaystyle z_{1}} и z2{displaystyle z_{2}} модуль их разности |z1−z2|{displaystyle left|z_{1}-z_{2}right|} равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

6) Модуль числа z{displaystyle z} связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

−|z|⩽Re⁡(z)⩽|z|;−|z|⩽Im⁡(z)⩽|z|;|z|⩽|Re⁡(z)|+|Im⁡(z)|{displaystyle -|z|leqslant operatorname {Re} (z)leqslant |z|;quad -|z|leqslant operatorname {Im} (z)leqslant |z|;quad |z|leqslant |operatorname {Re} (z)|+|operatorname {Im} (z)|}

Аргумент |

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z{displaystyle z} измеряется в радианах и обозначается Arg⁡(z){displaystyle operatorname {Arg} left(zright)}. Из этого определения следует, что^[13]

tg⁡ φ=yx;cos⁡φ=x|z|;sin⁡φ=y|z|{displaystyle operatorname {tg} varphi ={frac {y}{x}};quad cos varphi ={frac {x}{left|zright|}};quad sin varphi ={frac {y}{left|zright|}}}.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z{displaystyle z} аргумент определяется с точностью до 2πk{displaystyle 2pi k}, где k{displaystyle k} — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение φ{displaystyle varphi }, что −π<φ⩽π{displaystyle -pi <varphi leqslant pi }. Главное значение может обозначаться arg⁡(z){displaystyle operatorname {arg} left(zright)}^[16].

Некоторые свойства аргумента^[15]:

1) Аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

Arg⁡(1z)=−Arg⁡(z).{displaystyle operatorname {Arg} left({frac {1}{z}}right)=-operatorname {Arg} left(zright).}

2) Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

Arg⁡(z1z2)=Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2).{displaystyle operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2}).}

3) Аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

Arg⁡z1z2=Arg⁡(z1)−Arg⁡(z2).{displaystyle operatorname {Arg} {frac {z_{1}}{z_{2}}}=operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}).}

Сопряжённые числа |

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy{displaystyle z=x+iy}, то число z¯=x−iy{displaystyle {bar {z}}=x-iy} называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к z{displaystyle z} (обозначается также z∗{displaystyle z^{*}}). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком^[17]:

• |z¯|=|z|;Arg⁡(z¯)=−Arg⁡(z){displaystyle left|{bar {z}}right|=left|zright|;quad operatorname {Arg} ({bar {z}})=-operatorname {Arg} (z)}

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; она имеет следующие свойства^[17]:

• 
  z=z¯{displaystyle z={bar {z}}} тогда и только тогда, когда z{displaystyle z} — вещественное число.


• 
  z¯¯=z{displaystyle {bar {bar {z}}}=z} (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z^[15]:

• z⋅z¯=|z|2=x2+y2{displaystyle zcdot {bar {z}}=left|zright|^{2}=x^{2}+y^{2}}

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число^[15]:

• z+z¯=2Re⁡(z)=2x{displaystyle z+{bar {z}}=2operatorname {Re} left(zright)=2x}

Другие соотношения^[15]:

• z1+z2¯=z¯1+z¯2{displaystyle {overline {z_{1}+z_{2}}}={bar {z}}_{1}+{bar {z}}_{2}}


• z1−z2¯=z¯1−z¯2{displaystyle {overline {z_{1}-z_{2}}}={bar {z}}_{1}-{bar {z}}_{2}}


• z1⋅z2¯=z¯1⋅z¯2{displaystyle {overline {z_{1}cdot z_{2}}}={bar {z}}_{1}cdot {bar {z}}_{2}}


• z1/z2¯=z¯1/z¯2{displaystyle {overline {z_{1}/z_{2}}}={bar {z}}_{1}/{bar {z}}_{2}}


• Rez=z+z¯2;Imz=z−z¯2i.{displaystyle operatorname {Re} ,z={frac {z+{bar {z}}}{2}};quad operatorname {Im} ,z={frac {z-{bar {z}}}{2i}}.}

Обобщение: p(z)¯=p(z¯){displaystyle {overline {pleft(zright)}}=pleft({bar {z}}right)}, где p(z){displaystyle pleft(zright)} — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число z{displaystyle z} является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число z¯{displaystyle {overline {z}}} тоже является его корнем. Из этого следует, что комплексные корни такого многочлена, не являющиеся вещественными числами (имеющие ненулевую мнимую часть), разбиваются на пары комплексно-сопряжённых^[15].

Пример |

Тот факт, что произведение zz¯{displaystyle z{bar {z}}} есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение^[18], например:

2+5i3−4i=(2+5i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−14+23i25=−1425+2325i.{displaystyle {frac {2+5i}{3-4i}}={frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={frac {-14+23i}{25}}=-{frac {14}{25}}+{frac {23}{25}}i.}

Формы представления комплексного числа |

Алгебраическая форма |

Выше использовалась запись комплексного числа z{displaystyle z} в виде x+iy{displaystyle x+iy}; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма |

Тригонометрическое представление

Если вещественную x{displaystyle x} и мнимую y{displaystyle y} части комплексного числа выразить через модуль r=|z|{displaystyle r=left|zright|} и аргумент φ{displaystyle varphi } (то есть x=rcos⁡φ{displaystyle x=rcos varphi }, y=rsin⁡φ{displaystyle y=rsin varphi }), то всякое комплексное число z{displaystyle z}, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме^[13]:

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){displaystyle z=rleft(cos varphi +isin varphi right)}

Как уже сказано выше, для нуля аргумент φ{displaystyle varphi } не определён; для ненулевого числа φ{displaystyle varphi } определяется с точностью до целого кратного 2π{displaystyle 2pi }.

Показательная форма |

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера^[18]:

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi ,}

где e{displaystyle e} — число Эйлера, cos,sin{displaystyle cos ,sin } — функции косинуса и синуса, eiφ{displaystyle e^{ivarphi }} — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа^[18]:

z=reiφ{displaystyle z=re^{ivarphi }}

Следствия

(1) Модуль выражения eiφ,{displaystyle e^{ivarphi },} где φ{displaystyle varphi } вещественно, равен 1.

(2) cos⁡φ=eiφ+e−iφ2;sin⁡φ=eiφ−e−iφ2i{displaystyle cos varphi ={frac {e^{ivarphi }+e^{-ivarphi }}{2}};quad sin varphi ={frac {e^{ivarphi }-e^{-ivarphi }}{2i}}} — при комплексном φ{displaystyle varphi } эти равенства могут служить определением косинуса и синуса.

Пример^[19]. Представим в тригонометрической и показательной форме число z=−1−3i:{displaystyle z=-1-{sqrt {3}}i:}

|z|=(−1)2+(−3)2=1+3=2{displaystyle |z|={sqrt {(-1)^{2}+(-{sqrt {3}})^{2}}}={sqrt {1+3}}=2};

φ=−π+arctg⁡(−3−1)=−π+arctg⁡(3)=−2π3{displaystyle varphi =-pi +operatorname {arctg} {Bigl (}{frac {-{sqrt {3}}}{-1}}{Bigr )}=-pi +operatorname {arctg} ({sqrt {3}})=-{frac {2pi }{3}}} (поскольку z{displaystyle z} находится в III координатной четверти).

Отсюда:

z=2(cos⁡−2π3+isin⁡−2π3)=2ei−2π3{displaystyle z=2left(cos {frac {-2pi }{3}}+isin {frac {-2pi }{3}}right)=2e^{i{frac {-2pi }{3}}}}

Формула Муавра и извлечение корней |

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид^[10]:

zn=[r(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ){displaystyle z^{n}=left[rleft(cos varphi +isin varphi right)right]^{n}=r^{n}left(cos nvarphi +isin nvarphi right)},

где r{displaystyle r} — модуль, а φ{displaystyle varphi } — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом n{displaystyle n}, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n{displaystyle n}-й степени из ненулевого комплексного числа^[18]:

z1/n=[r(cos⁡(φ+2πk)+isin⁡(φ+2πk))]1/n={displaystyle z^{1/n}=left[rleft(cos left(varphi +2pi kright)+isin left(varphi +2pi kright)right)right]^{1/n}=}

=rn(cos⁡φ+2πkn+isin⁡φ+2πkn),k=0,1,…,n−1.{displaystyle ={sqrt[{n}]{r}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),quad k=0,;1,;ldots ,;n-1.}

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Это значит, что корни n{displaystyle n}-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n{displaystyle n}. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n{displaystyle n}-угольника, вписанного в окружность радиуса rn{displaystyle {sqrt[{n}]{r}}} с центром в начале координат (см. рисунок).

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа, записанного в стандартном формате a+bi,{displaystyle a+bi,} можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться вышеприведённой формулой для n=2.{displaystyle n=2.} Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня: ±(c+di),{displaystyle pm (c+di),} где^[20]:

c=a+a2+b22{displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}

d=sgn⁡(b)−a+a2+b22{displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}

Здесь sgn{displaystyle operatorname {sgn} } — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением c+di{displaystyle c+di} в квадрат.

Пример: для квадратного корня из 3+4i{displaystyle 3+4i} формулы дают два значения: 2+i;−2−i.{displaystyle 2+i;;-2-i.}

История |

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5+−15{displaystyle 5+{sqrt {-15}}} и 5−−15{displaystyle 5-{sqrt {-15}}}. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»^[21].

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение x3=15x+4{displaystyle x^{3}=15x+4} имеет вещественный корень x=4{displaystyle x=4}, однако по формулам Кардано получаем: x=2+11i3+2−11i3{displaystyle x={sqrt[{3}]{2+11i}}+{sqrt[{3}]{2-11i}}}. Бомбелли обнаружил, что 2±11i3=2±i{displaystyle {sqrt[{3}]{2pm 11i}}=2pm i}, так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел^[22][21].

Выражения, представимые в виде a+b−1{displaystyle a+b{sqrt {-1}}}, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к комплексным числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты^[21].

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n{displaystyle n} из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)^[23].

Символ i{displaystyle i} для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)^[24]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)^[22]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)^[25].

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс^[26]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.^[2][27].

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения^[2].

Комплексные функции |

Аналитические функции |

Комплексная функция одной переменной — это функция w=f(z){displaystyle w=f(z)}, которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам z{displaystyle z} этой области комплексные значения w{displaystyle w}^[28]. Примеры:

w=z2+z+1;w=z+1z{displaystyle w=z^{2}+z+1;quad w=z+{frac {1}{z}}}

Каждая комплексная функция w=f(z)=f(x+iy){displaystyle w=f(z)=f(x+iy)} может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: f(z)=u(x,y)+iv(x,y){displaystyle f(z)=u(x,;y)+iv(x,;y)}, определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u{displaystyle u}, v{displaystyle v} называются компонентами комплексной функции f(z).{displaystyle f(z).} Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных^[28].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль |w|=|f(z)|,{displaystyle |w|=|f(z)|,} то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции^[29].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала^[28], например:

sin2⁡z+cos2⁡z=1;eu⋅ev=eu+v{displaystyle sin ^{2}z+cos ^{2}z=1;qquad e^{u}cdot e^{v}=e^{u+v}}

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль^[28].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными^[30].

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.


• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z{displaystyle z} комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути^[31].

Преобразования комплексной плоскости |

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• 
  w=z+c{displaystyle w=z+c} — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки c.{displaystyle c.}
  


• 
  w=uz{displaystyle w=uz}, где u{displaystyle u} — комплексное число с единичным модулем — поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу u.{displaystyle u.}
  


• 
  w=z¯{displaystyle w={bar {z}}} — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции w=uz+c{displaystyle w=uz+c} и w=uz¯+c{displaystyle w=u{bar {z}}+c} дают общее выражение для движения на комплексной плоскости^[32].

Другие линейные преобразования^[32]:

• 
  w=rz{displaystyle w=rz}, где r{displaystyle r} — положительное вещественное число, задаёт растяжение, масштаб которого зависит от r{displaystyle r} (сжатие, если r<1{displaystyle r<1}).


• Преобразования w=az+b{displaystyle w=az+b} и w=az¯+b{displaystyle w=a{bar {z}}+b}, где a,b{displaystyle a,b} — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия.


• Преобразование w=az+bz¯+c,{displaystyle w=az+b{bar {z}}+c,} где |a|≠|b|{displaystyle |a|neq |b|} — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости.

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования^[33]:

w=az+bcz+d{displaystyle w={frac {az+b}{cz+d}}}

При этом ad≠bc{displaystyle adneq bc} (иначе функция w(z){displaystyle w(z)} вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые. При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот^[33].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия w=1/z¯,{displaystyle w=1/{bar {z}},} функция Жуковского.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости |

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[34]:

• Три (различные) точки z1,z2,z3{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

z1−z3z2−z3{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}} является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки z1,z2,z3,z4{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}} лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4{displaystyle {frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}} является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: z1,z2,z3,{displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},} то четвёртая определяется равенством^[35]: z4=z1−z2+z3.{displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.}
  

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[36]:

z=ut+v,{displaystyle z=ut+v,} где u,v{displaystyle u,v} — комплексные числа, u≠0,t{displaystyle uneq 0,t} — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми z=ut+v{displaystyle z=ut+v} и z=u′t+v′{displaystyle z=u't+v'} равен arg⁡(u′/u).{displaystyle operatorname {arg} (u'/u).} В частности, прямые перпендикулярны, когда u′/u{displaystyle u'/u} — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда u′/u{displaystyle u'/u} есть вещественное число; если при этом (v′−v)/u{displaystyle (v'-v)/u} также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая z=ut+v{displaystyle z=ut+v} рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение t=Im⁡z−vu{displaystyle t=operatorname {Im} {frac {z-v}{u}}} положительно, на другой — отрицательно^[36].

Уравнение окружности с центром c{displaystyle c} и радиусом r{displaystyle r} имеет чрезвычайно простой вид: |z−c|=r.{displaystyle |z-c|=r.} Неравенство |z−c|<r{displaystyle |z-c|<r} описывает внутренность окружности^[36]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности^[37]: z=c+eiφ.{displaystyle z=c+e^{ivarphi }.}

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств |

Множество комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} } образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел R.{displaystyle mathbb {R} .} Основное алгебраическое свойство C{displaystyle mathbb {C} } — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что C{displaystyle mathbb {C} } есть алгебраическое замыкание^[38] поля R.{displaystyle mathbb {R} .}

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность C{displaystyle mathbb {C} } как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями R{displaystyle mathbb {R} } — поле комплексных чисел и тело кватернионов^[39].

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем R.{displaystyle mathbb {R} .}

Поле C{displaystyle mathbb {C} } допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте^[40].

Поля R{displaystyle mathbb {R} } и C{displaystyle mathbb {C} } — единственные связные локально компактные топологические поля^[41].

Некоторые практические применения |

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика |

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение^[42][43].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида a+bi,{displaystyle a+bi,} где a,b{displaystyle a,b} — целые числа^[44]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана^[45].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд

11+x2=1−x2+x4−x6+…{displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+ldots }

Этот ряд сходится только в интервале (−1;1){displaystyle (-1;;1)}, хотя точки ±1{displaystyle pm 1} не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного f(z)=11+z2{displaystyle f(z)={frac {1}{1+z^{2}}}}, у которой обнаруживаются две особые точки: ±i{displaystyle pm i}. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге единичного радиуса^[46].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент^[47]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений^[48]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам^[49]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа^[50].

Конформное отображение |

Пример конформного преобразования

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)^[51]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии^[52][53] и гидродинамике^[54].

Квантовая механика |

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты x^{displaystyle {hat {x}}} и импульса p^x{displaystyle {hat {p}}_{x}} представляет собой мнимое число^[55]:

[x^,p^x]=x^p^x−p^xx^=iℏ{displaystyle left[{hat {x}},{hat {p}}_{x}right]={hat {x}}{hat {p}}_{x}-{hat {p}}_{x}{hat {x}}=ihbar }

Здесь ℏ{displaystyle hbar } — редуцированная постоянная Планка h{displaystyle h}, то есть h/2π{displaystyle h/2pi } (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения^[55].

Электротехника |

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса или комплексного сопротивления для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи^[56]. Ввиду того, что традиционно символ i{displaystyle i} в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j{displaystyle j}^[57]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из (t,x){displaystyle (t,x)}- в (ω,k){displaystyle (omega ,k)}-пространство (где t{displaystyle t} — время, ω{displaystyle omega } — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных^[58].

Логические основания |

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для комплексных чисел.

Аксиоматика комплексных чисел |

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} }, если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }. Именно, определим C{displaystyle mathbb {C} } как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и квадратный корень из −1 (мнимую единицу). Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие^[59][60].

С1: Для всяких комплексных чисел u,v{displaystyle u,v} определена их сумма u+v{displaystyle u+v}.

С2: Сложение коммутативно: u+v=v+u{displaystyle u+v=v+u}. Для краткости оговорку «для всяких u,v,w{displaystyle u,v,w}» далее, как правило, опускаем.

С3: Сложение ассоциативно: (u+v)+w=u+(v+w).{displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).}

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что u+0=u{displaystyle u+0=u}.

С5: Для всякого комплексного числа u{displaystyle u} существует «противоположный ему» элемент −u{displaystyle -u} такой, что u+(−u)=0.{displaystyle u+(-u)=0.}

С6: Для всяких комплексных чисел u,v{displaystyle u,v} определено их произведение uv{displaystyle uv}.

С7: Умножение коммутативно: uv=vu.{displaystyle uv=vu.}

С8: Умножение ассоциативно: (uv)w=u(vw).{displaystyle (uv)w=u(vw).}

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: (u+v)w=uw+vw.{displaystyle (u+v)w=uw+vw.}

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что u⋅1=u{displaystyle ucdot 1=u}.

С11: Для всякого ненулевого числа u{displaystyle u} существует «обратное ему» число u′{displaystyle u'} такое, что u⋅u′=1.{displaystyle ucdot u'=1.}

С12: Множество комплексных чисел C{displaystyle mathbb {C} } содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой R{displaystyle mathbb {R} }.

С13: Существует элемент i{displaystyle i} (мнимая единица) такой, что i2+1=0.{displaystyle i^{2}+1=0.}

С14 (аксиома минимальности): Пусть M{displaystyle M} — подмножество C{displaystyle mathbb {C} }, удовлетворяющее следующим условиям: оно содержит R{displaystyle mathbb {R} } и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда M{displaystyle M} совпадает со всем C{displaystyle mathbb {C} }.

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что C{displaystyle mathbb {C} } образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением R.{displaystyle mathbb {R} .} Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны^[61].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств^[62].

Непротиворечивость и модели |

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел^[63].

Стандартная модель |

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара (a,b){displaystyle (a,b)} будет соответствовать комплексному числу a+bi.{displaystyle a+bi.}^[64]

Далее определим^[63]:

1. Пары (a,b){displaystyle (a,b)} и (c,d){displaystyle (c,d)} считаются равными, если a=c{displaystyle a=c} и b=d{displaystyle b=d}.


2. 
   Сложение: сумма пар (a,b){displaystyle (a,b)} и (c,d){displaystyle (c,d)} определяется как пара (a+c,b+d){displaystyle (a+c,b+d)}.


3. 
   Умножение: произведение пар (a,b){displaystyle (a,b)} и (c,d){displaystyle (c,d)} определяется как пара (ac−bd,ad+bc){displaystyle (ac-bd,ad+bc)}.

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}:

(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+i(ad+bc){displaystyle (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)}

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами (a,0){displaystyle (a,0)}, образующими подполе R{displaystyle mathbb {R} }, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары (0,0){displaystyle (0,0)} и (1,0){displaystyle (1,0)} соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара (0,1){displaystyle (0,1)}. Квадрат её равен (−1,0){displaystyle left(-1,;0right)}, то есть −1.{displaystyle -1.} Любое комплексное число можно записать в виде (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.{displaystyle (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой^[63].

Матричная модель |

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

(x−yyx){displaystyle {begin{pmatrix}x&-y\y&xend{pmatrix}}}

с обычным матричным сложением и умножением^[2]. Вещественной единице будет соответствовать

(1001){displaystyle {begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}},

мнимой единице —

(0−110){displaystyle {begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}}.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy{displaystyle x+iy} является линейным оператором. В базисе e1=1,e2=i{displaystyle e_{1}=1,e_{2}=i} линейный оператор A умножения на x+iy{displaystyle x+iy} представляется указанной выше матрицей, так как^[2]:

(x+iy)⋅1=x⋅1+y⋅i{displaystyle (x+iy)cdot 1=xcdot 1+ycdot i}

(x+iy)⋅i=(−y)⋅1+x⋅i{displaystyle (x+iy)cdot i=(-y)cdot 1+xcdot i}

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.
А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число^[65].

Модель фактор-кольца многочленов |

Рассмотрим кольцо многочленов R[x]{displaystyle mathbb {R} [x]} с вещественными коэффициентами и построим его фактор-кольцо по модулю многочлена x2+1{displaystyle x^{2}+1} (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из R[x]{displaystyle mathbb {R} [x]} мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен x2+1{displaystyle x^{2}+1} они дают одинаковые остатки. Например, многочлен x2{displaystyle x^{2}} будет эквивалентен константе −1{displaystyle -1}, многочлен x3{displaystyle x^{3}} будет эквивалентен −x{displaystyle -x} и т. д.^[66]

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен x2+1{displaystyle x^{2}+1} неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен i(x)=x{displaystyle i(x)=x}, поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен −1.{displaystyle -1.} Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида a+bx{displaystyle a+bx} (от деления на x2+1{displaystyle x^{2}+1}), который в силу сказанного можно записать как a+bi.{displaystyle a+bi.} Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел^[66].

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда^[67].

Алгебраическая характеризация |

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} }). Кроме того, любой базис трансцендентности C{displaystyle mathbb {C} } над Q{displaystyle mathbb {Q} } имеет мощность континуум^{[K 3]}. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей^{[68][69][K 4]}.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание Q¯p{displaystyle {overline {mathbb {Q} }}_{p}} поля p{displaystyle p}-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако p{displaystyle p}-адическая норма не является архимедовой^[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма^[70]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в p{displaystyle p}-адическом^[70].

Вариации и обобщения |

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые i,j,k.{displaystyle i,j,k.} Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»^[71].

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют^[71].

Примечания |

Комментарии

Использованная литература

Литература |

	Комплексные числа в Викиучебнике
	Комплексные числа на Викискладе

• Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.


• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.


• Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.


• Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.


• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.


• Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.


• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.


• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.


• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.


• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.


• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.


• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.


• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.


• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.


• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.


• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.


• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки |

• 
  Глейзер Г. Комплексные числа (часть 1 из 2) (неопр.). Журнал «Математика». — № 10 (2001). Проверено 18 апреля 2017.
  
  • 
    (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
  
  


• Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. — 1982. — № 3.


• Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows (неопр.). Проверено 17 января 2018.


• 
  Этьен Жис^[en], Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы 5 и 6: Комплексные числа. (рус.)
  

Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии.