Rstykt

Система

q˙(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t){displaystyle {dot {q}}(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)} (1)

z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t){displaystyle z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)} (2)

является наблюдателем для системы

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t){displaystyle {dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)} (3),

y(t)=Cx(t){displaystyle y(t)=Cx(t)} (4),

если для каждого начального состояния x(t0){displaystyle x(t_{0})} системы (3)-(4) существует начальное состояние q0{displaystyle q_{0}} для системы (1)-(2), такое, что равенство
q(t0)=q0{displaystyle q(t_{0})=q_{0}}
приводит к
z(t)=x(t),t≥t0{displaystyle z(t)=x(t),tgeq t_{0}}
при всех управлениях u(t),t≥t0{displaystyle u(t),tgeq t_{0}}.

Здесь A,B,C,F,G,H,K,L,M{displaystyle A,B,C,F,G,H,K,L,M} — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность q(t){displaystyle q(t)} равна размерности x(t){displaystyle x(t)} и выполнение условия q(t0)=x(t0){displaystyle q(t_{0})=x(t_{0})} дает q(t)=x(t),t≥t0{displaystyle q(t)=x(t),tgeq t_{0}} при всех управлениях u(t),t≥t0{displaystyle u(t),tgeq t_{0}}, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. n{displaystyle n}-мерный вектор x(t){displaystyle x(t)}, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени t{displaystyle t}. r{displaystyle r}-мерный вектор u(t){displaystyle u(t)} описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

l{displaystyle l}-мерный вектор y(t){displaystyle y(t)} представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно l<n{displaystyle l<n}. y(t){displaystyle y(t)} называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда
F(t)=A(t)−K(t)C(t){displaystyle F(t)=A(t)-K(t)C(t)},
G(t)=K(t){displaystyle G(t)=K(t)},
H(t)=B(t){displaystyle H(t)=B(t)},
где K(t){displaystyle K(t)} является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности.
В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

q˙(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)−C(t)q(t)]{displaystyle {dot {q}}(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]} (5).

Матрица K(t){displaystyle K(t)} называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя.
Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

q˙(t)=[A(t)−K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t){displaystyle {dot {q}}(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)},

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

A(t)−K(t)C(t){displaystyle A(t)-K(t)C(t)}.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления K{displaystyle K}, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы A−KC{displaystyle A-KC}, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

e(t)=x(t)−q(t){displaystyle e(t)=x(t)-q(t)}

удовлетворяет дифференциальному уравнению

e˙(t)=[A(t)−K(t)C(t)]e(t){displaystyle {dot {e}}(t)=left[A(t)-K(t)C(t)right]e(t)}.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

e(t)→0{displaystyle e(t)to 0} при t→∞{displaystyle tto infty }

для всех e(t0){displaystyle e(t_{0})} тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления K{displaystyle K}, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной y(t){displaystyle y(t)}.

Примечания |

См. также |

• Система отсчёта


• Динамическая система

Ссылки |

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.