Rstykt

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде.

Зако́н диспе́рсии или дисперсионное уравнение (соотношение) в теории волн — это связь частоты и волнового вектора волны:

ω=ω(k).{displaystyle omega =omega (mathbf {k} ),.}

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

vph=ωk⋅kk;vgr=dωdk.{displaystyle mathbf {v} _{ph}={omega over k}cdot {mathbf {k} over k},;quad mathbf {v} _{gr}={domega over dmathbf {k} },.}

Дисперсией (впервые понятие появилось в оптике в связи с явлением разложения луча белого света в спектр при пропускании его через призму) называют зависимость фазовой скорости волн (того или иного типа; первоначально применялось к свету) от частоты или длины волны (если такая скорость не зависит от них, говорят об отсутствии дисперсии), или, иначе говоря, в применении к оптике, различие коэффициента преломления определенной среды (например, стекла призмы), от частоты или длины волны света. Таким образом, именно нелинейный^[1] закон дисперсии для света в стекле приводит к классическому явлению дисперсии.

В связи с тем, что, согласно квантовым представлениям, каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица и наоборот, закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности,
в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочки |

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой m{displaystyle m}, расстояние между ними d{displaystyle d}. Сместим n{displaystyle n}-ный атом на малое расстояние un{displaystyle u_{n}}. Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

k{displaystyle k} — волновое число;

ω{displaystyle omega } — частота;

С учётом ближайших соседей

Fn=−β(un−un+1)−β(un−un−1)=β(un+1−2un+un−1),{displaystyle F_{n}=-beta (u_{n}-u_{n+1})-beta (u_{n}-u_{n-1})=beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),}

где

β{displaystyle beta } — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для n{displaystyle n}-ного атома:

ma=F⟺md2undt2=β(un+1−2un+un−1).{displaystyle ma=Fquad Longleftrightarrow quad m{cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}).}

Пусть решение имеет вид Aei(kd−ωt).{displaystyle Ae^{i(kd-omega t)}.}

Тогда

−mω2=β(eikd+e−ikd−2)=−2β(1−cos⁡kd)=−4βsin2⁡(kd/2)⇒ω=±ωmsin⁡kd/2,{displaystyle -momega ^{2}=beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2beta (1-cos kd)=-4beta sin ^{2}(kd/2)quad Rightarrow quad omega =pm omega _{m}sin {kd/2},}

где

ωm=2βm.{displaystyle omega _{m}=2{sqrt {cfrac {beta }{m}}}.}

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

См. также |

• Дисперсия волн

Примечания |

Литература |

Стефан А. Тау (1977), Линейные волны в средах с дисперсией, В кн:
Нелинейные волны. М.: Мир.

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.