Rstykt

Теория возмущений — метод приближенного решения задач теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Физические величины, рассчитаные по теории возмущений, имеют вид ряда

A=A(0)+εA(1)+ε2A(2)+...{displaystyle A=A^{(0)}+varepsilon A^{(1)}+varepsilon ^{2}A^{(2)}+...}

где A(0){displaystyle A^{(0)}} — решение невозмущённой задачи, ε{displaystyle varepsilon } — малый параметр.
Коэффициенты A(n){displaystyle A^{(n)}} находятся путём последовательных приближений, то есть A(n){displaystyle A^{(n)}} выражается через A(0),...,A(n−1){displaystyle A^{(0)},...,A^{(n-1)}}.
Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

В небесной механике |

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика.
Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача N{displaystyle N} тел, которая, в отличие от задачи двух тел,
не имеет точного аналитического решения.
Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет к друг другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем.
В пренебрежении массами планет задача сводится к N−1{displaystyle N-1} независимым задачам двух тел, которые решаются точно;
каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера.
Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение.
Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учетом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы):
большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, долгота перигелия и момент прохождения через перигелий.
Эти величины (обозначим их для простоты ai{displaystyle a_{i}}) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

ai(t)=ai(0)=const,{displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}={rm {const}},}

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

daidt=εfi(a1,a2,...a6,t)(∗){displaystyle {frac {da_{i}}{dt}}=varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)qquad qquad (*)}

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения,
и найдём:

ai(t)=ai(0)+εai(1)(t)=ai(0)+ε∫0tfi(ai(0),τ)dτ.{displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}+varepsilon a_{i}^{(1)}(t)=a_{i}^{(0)}+varepsilon int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{(0)},tau )dtau .}

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике |

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

H=H(0)+V{displaystyle H=H^{(0)}+V}

где H(0){displaystyle H^{(0)}} — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а V{displaystyle V} — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений |

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии.
Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

H|ψn⟩=En|ψn⟩(∗∗){displaystyle H|psi _{n}rangle =E_{n}|psi _{n}rangle qquad qquad (**)}

в виде разложения в ряд

ψn=ψn(0)+ψn(1)+ψn(2)+...{displaystyle psi _{n}=psi _{n}^{(0)}+psi _{n}^{(1)}+psi _{n}^{(2)}+...}

En=En(0)+En(1)+En(2)+...(∗∗∗){displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}+...qquad qquad (***)}

где ψn(0){displaystyle psi _{n}^{(0)}} и En(0){displaystyle E_{n}^{(0)}} — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

H(0)|ψn(0)⟩=En(0)|ψn(0)⟩,{displaystyle H^{(0)}|psi _{n}^{(0)}rangle =E_{n}^{(0)}|psi _{n}^{(0)}rangle ,}

а число n{displaystyle n} нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

(V−En(1))|ψn(0)⟩=(En(0)−H(0))|ψn(1)⟩{displaystyle (V-E_{n}^{(1)})|psi _{n}^{(0)}rangle =(E_{n}^{(0)}-H^{(0)})|psi _{n}^{(1)}rangle }

Домножая слева на ψm(0){displaystyle psi _{m}^{(0)}}, и учитывая, что ψm(0){displaystyle psi _{m}^{(0)}} — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

En(1)=Vnn{displaystyle E_{n}^{(1)}=V_{nn}}

ψn(1)=∑m≠nVmnEn(0)−Em(0)ψm(0),{displaystyle psi _{n}^{(1)}=sum _{mneq n}{frac {V_{mn}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}psi _{m}^{(0)},}

где Vmn≡⟨ψm(0)|V|ψn(0)⟩{displaystyle V_{mn}equiv langle psi _{m}^{(0)}|V|psi _{n}^{(0)}rangle } — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень En(0){displaystyle E_{n}^{(0)}} невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Нестационарная теория возмущений |

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 29 февраля 2016 года.

В квантовой теории поля |

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений.
Невозмущенным решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия
(в электродинамике — постоянная тонкой структуры α=1/137{displaystyle alpha =1/137}).
Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений.
Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по α{displaystyle alpha }
^[1].

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим.
Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться^[2].

Примеры неприменимости теории возмущений |

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

Tinst=Aexp⁡(−1/g){displaystyle T_{inst}=Aexp(-1/g)}, где g{displaystyle g} — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке g=0{displaystyle g=0}, а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по g{displaystyle g}.

Примечания |

Литература |

• Физическая энциклопедия / А.М. Прохоров (гл. ред.). — М.: Большая Российская энциклопедия, 1988—99.


• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.


• 
  Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.


• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 197—267.


• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 269—325.